Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 28 de noviembre Problema 1 Verifica que $Latex \displaystyle f(x,y,z,t) = \sin\big(k_1(u_1 x+u_2 y+u_3 z-ct)+k_2\big)$ satisface la ecuación de derivadas parciales $Latex \displaystyle \square^2f=0$. Problema 2 Muestra que si $Latex g$ es una función dos veces diferenciable, $Latex \vec u = (u_1,u_2,u_3)$ es un vector unitario, y si $Latex f(x,y,z,t) = g(u_1 x+u_2 y+u_3 z-ct)$, entonces $Latex \displaystyle \square^2f=0$. Problema 3 Sea $Latex \phi$ un campo escalar que depende solo de $Latex x, z$, y $Latex t$ y satisface la ecuación de d'Alembert: $Latex \displaystyle \square^2 \phi =0$. Muestra que $Latex \vec B=(0,-c^2\partial\phi/\partial t,0)$ y $Latex \vec E = (\partial\phi/\partial z,0,-\partial\phi/\partial z)$ satisfacen las ecuaciones de Maxwell en la ausencia de cualquier carga o corriente. Problema 4 Sea $Latex \displaystyle \Phi = \sin\Big(\frac{\sqrt{2}}{2}(x+z)-ct\Big)dzdxdt$. Verifica que $Latex \Phi$ es cerrada y satisface $Latex \displaystyle \e...

Fecha de entrega: 21 de noviembre Problema 1 Una carga puntual se localiza en el punto $latex (0,0,2)$. Encuentra el flujo del campo eléctrico $latex \mathbf E$ producido por esta carga a través del disco $latex \{(x,y,z): x^2+y^2\le 1, z=0\}.$ Problema 2 Averigua la falacia del siguiente argumento, que supuestamente demuestra que  no existen los campos magnéticos : Sea $latex \vec B$ un campo magnético. Empezamos del hecho que $latex \vec B$ es incompresible, por lo que $latex \nabla\cdot\vec B = 0$. Como un campo incompresible es el rotacional de un campo vectorial, $latex \vec B = \nabla\times\vec A.$ Entonces $latex \displaystyle \int \nabla\times\vec A\cdot\hat n d\sigma = \int \vec B\cdot \hat n d\sigma=\int \nabla\cdot\vec B dV = 0,$ donde hemos usado el teorema de Gauss. Por el teorema de Stokes, $latex \displaystyle \int \nabla\times\vec A \cdot\hat n d\sigma=\oint \vec A\cdot d\vec r,$ y entonces $latex \displaystyle \oint \vec A \cdot d\vec r = 0.$ Como un campo irrotacional...

Fecha de entrega: 14 de noviembre Problema 1 Usa el teorema de Stokes para evaluar las siguientes integrales. En cada caso, determina la dirección en la cual es necesario orientar $latex C$ para obtener un valor positivo. a) $Latex \displaystyle \oint_C ydx+(2x-z)dy+(z-x)dz,$ $Latex \qquad$ donde $Latex C$  es la intersección de $Latex x^2+y^2+z^2=$ y $Latex z=1$. b) $Latex \displaystyle \oint_C (y^2-z^2)dx+(z^2-x^2)dy+(x^2-y^2)dz,$ $Latex \qquad$ donde $Latex C$ es formada por la intersección de $Latex x+2y+3z=4$ con los planos $Latex x=3, y=2$ y, $latex z=1$, respectivamente. Hint: $Latex C$ es la frontera de un triángulo. Encuentra el pullback de este triángulo al triángulo fundamental en el espacio $Latex uv$. Problema 2 Verifica que las imagenes del campo vectorial $Latex \vec F(0,e^{-x^2},0)$ son paralelas, pero su rotacional no es $Latex \vec 0$. Explica por qué una hoja empujada por el flujo descrito por el campo vectorial, rota sobre sí misma. Problema 3 Encuentra un campo pot...

Fecha de entrega: 7 de noviembre Problema 1 Determina cuáles de las siguientes formas son cerradas: $Latex (2xy+y^2)dx+(2xy+x^2)dy$, $Latex y^2dx+(2xy+z^2)dy+2yzdz$, $Latex (xdx+ydy+zdz)/(x^2+y^2+z^2)$. Problema 2 Determina cuáles de las 1-formas del problema anterior son exactas. Para aquellas que lo son, encuentra un campo escalar del cual la forma es el diferencial. Si la forma no es exacta, encuentra dos trayectorias con los mismos extremos donde las integrales de línea sean diferentes. Problema 3 Usa el teorema de Green para evaluar $Latex \displaystyle \oint_C x^3ydx+xydy,$ donde $Latex C$ es el cuadrado con vertices en $Latex (0,0), (2,0), (2,2), (0,2)$. Problema 4 Usa el teorema de Green para evaluar $Latex \displaystyle \oint_C ydx+x^2dy,$ donde $Latex C$ es la parabola $Latex y=x^2$ de $Latex (-1,1)$ a $Latex (1,1)$ junto con la recta de $Latex (1,1)$ a $Latex (-1,1)$. Problema 5 Si un fluido tiene vector de velocidad $Latex (3x^2-y^2,x^2+3y^2)$ en el punto $Latex (x,y)...

Fecha de entrega: 31 de octubre Problema 1 Encuentra los extremos de $latex f$ bajo las condiciones dadas. $latex f(x,y) = x^2+y^2, \quad x^3-xy^2=1$ $latex f(x,y) = 2x+3y, \quad x^2-2xy+2y^2=1$ $latex f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2, \quad (x-y)^2=1, \quad xyz = 1$ Problema 2 Encuentra el punto en la cónica $latex x^2-xy+y^2=1$ más cercano al origen. Problema 3 Encuentra el punto en la intersección de $latex (x+1)^2+(y-3)^2+(z-12)^2=4$ y $latex x-2y+z=5$ más cercano al origen. Encuentra también el punto más lejano. Problema 4 Encuentra las dimensiones desconocidas del paralelepípedo rectángulo de volumen máximo con aristas paralelas a los ejes inscrito en la elipsoide $latex x^2 + \dfrac{y^2}{4} + \dfrac{z^2}{9} = 1$.

Fecha de entrega: 24 de octubre Problema 1 Usa diferenciación implícita para expresar $Latex dy / dx$ como función de $Latex x$ y $Latex y$. $Latex x^2 y + x^3 y^4 =1$, $Latex x e^y + y e^x = 2e$. Problema 2 Encuentra $Latex \partial y /\partial x$ en el punto especificado, si existe. $Latex x^3 + y^3 + z^3 = 10$ en $Latex (1,2,1)$, $Latex (x^2 + y^2)/(y^2 + z^2) = 1$ en $Latex (-1,3,1)$, $Latex \log(xyz) = 3$ en $Latex (e,e^2,1)$, $Latex \sin x \cos y - \cos y\sin z = 0$ en $Latex (\pi,0,\pi/2)$. Problema 3 Sean $Latex x, y, u, v$ tales que $Latex \begin{array}{rcl} xy &=& 2e^{uv},\\x+y &=& e^{u+v}.\end{array}$ Encuentra $Latex \partial x/\partial u$ considerando $latex v$ constante en el punto $Latex (x,y,u,v) = (1,2,0,\log 3)$. Después, calcula $Latex \partial x/\partial u$ en el mismo punto tomando $latex y$ constante. Problema 4 Sean $Latex x, y, r, \theta$ relacionados por $Latex \begin{array}{rcl} x&=&r\cos\theta,\\y&=&r\sin\theta.\end...

Fecha de entrega: 17 de octubre Problema 1 Evalúa la integral $latex \displaystyle \int_S x dydz - z dzdx + z^2 dxdy$ para cada una de las siguientes superficies $latex S$, con orientación alejándose del origen. El hemisferio superior $latex S = \{(x,y,z): x = \cos\theta\cos\varphi, y = \sen\theta\cos\varphi, z = \sen\varphi,$ $latex 0 \le \theta \le 2\pi, 0\le \varphi \le \pi/2\}$. El cono hacia abajo con vértice en $latex (0,0,3)$ $latex S = \{(x,y,z): x = r\cos\theta, y = r\sen\theta, z = 3 - 3r,$ $latex 0\le r\le 1, 0\le \theta\le 2\pi\}$ El paraboloide hacia arriba cno vértice en $latex (0,0,-2)$ $latex S = \{(x,y,z): x = r\cos\theta, y = r\sen\theta, z = -2 + 2r^2,$ $latex 0\le r \le 1, 0\le \theta \le 2\pi\}$ Problema 2 Evalúa la integral $latex \displaystyle \int_S y^2 dydz + 2z dzdx - dxdy$ para cada una de las superficies $latex S$ del problema anterior. Problema 3 Muestra que, si la superficie $latex S$ está descrita por $latex S = \{(x,y,z): z = f(x,y), (x,y)\in R\}$,...

Fecha de entrega: 10 de octubre Problema 1 Para los siguientes pares de una función vectorial, $Latex \vec r(t)$, y un campo escalar, $Latex f(\vec x)$, sea $Latex F(t) = f(\vec r(t))$. Encuentra $Latex F'(t)$. $Latex f(x,y) = x^y$, $Latex \;\vec r(t) = (t^2,\log t)$, $Latex f(x,y) = xy\tan z$, $Latex \;\vec r(t) = (\cos t,\sin t,t)$. Problema 2 Encuentra $Latex \dfrac{\partial f}{\partial u}$ y $Latex \dfrac{\partial f}{\partial v}$ para cada una de las siguientes funciones. $Latex f(x,y) = x^2+xy$, $Latex \;x = v e^u$, $Latex \;y = u e^v$, $Latex f(x,y) = x\log (x^2+y^2)$, $Latex \;x = u^2-v^2$, $Latex \;y = u^2+v^2$. Problema 3 Para cada uno de los siguientes campos escalares, encuentra la dirección en la cual su derivada es máxima. $Latex f(x,y) = \log(x^2+2y^2)$ en $Latex (-1,1)$, $Latex f(x,y,z) = \sin xy-\cos xz$ en $Latex (\pi,1/2,1)$. Problema 4 Encuentra la ecuación del plano tangente a cada una de las superficies siguientes en el punto indicado. $Latex x^2+...

Fecha de entrega: 3 de octubre Problema 1 Muestra que $latex \displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,0)}\frac{xy}{x^2+y^2} = 0$ mostrando que, dado $latex \e>0$, existe $latex \delta>0$ tal que si $latex |(x,y)-(1,0)| = \sqrt{(x-1)^2+y^2}<\delta$ entonces $latex \Big|\dfrac{xy}{x^2+y^2}\Big| < \e$. Sigue los siguientes pasos. Muestra que $latex |(x,y)-(1,0)|<\delta$ implica que $latex -\delta<y<\delta$ y $latex 1-\delta<x<1+\delta$. De las desigualdades anteriores, concluye que, si $latex 0<\delta<1$, entonces $latex \Big|\dfrac{xy}{x^2+y^2}\Big|<\dfrac{\delta(1+\delta)}{(1-\delta)^2}.$ Utiliza el punto anterior para encontrar $latex \delta$ en función de $latex \e$. Problema 2 Extiende la función $latex f(x,y) = \dfrac{\sen(x^2+y^2)}{x^2+y^2}, \; (x,y)\not=(0,0)$, al punto $latex (0,0)$ de tal manera que sea continua en ese punto. Problema 3 Averigua si las siguientes funciones son continuas en $latex (0,0)$. $latex f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{x^2-y...

Fecha de entrega: 26 de septiembre Problema 1 Averigua cuáles de las siguientes transformaciones del plano son lineales. En tal caso, calcula su matriz y su determinante. Cizalla: $latex (x,y) \mapsto (x+cy, y)$, para alguna constante $latex c$ Traslación: $latex (x,y)\mapsto (x+a,y+b)$, para $latex a,b$ constantes Explosión: $latex (x,y) \mapsto (ax,by)$, para $latex a,b$ constantes Rotación: si $latex x=r\cos\theta$ y $latex y=r\sen\theta$, entonces $latex (x,y)\mapsto (r\cos(\theta+\varphi),r\sen(\theta+\varphi))$, para alguna constante $latex \varphi$ Proyección: dado un vector fijo $latex \vec r=(a,b)$, $latex \vec x \mapsto \vec x_r = \dfrac{\vec x\cdot\vec r}{r^2}\vec r$ Reflexión: dado un vector fijo $latex \vec r=(a,b)$, $latex \vec x\mapsto \vec x - 2\vec x_{r\perp} = 2\vec x_r - \vec x$ Problema 2 Calcula el determinante de las siguientes matrices. $latex \begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&4\\3&4&5\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}1&1...

Fecha de entrega: 19 de septiembre Problema 1 Calcula la integral $latex \displaystyle \int_T (y-1)dydz + (y+z)dzdx - xdxdy$, donde $latex T=[(1,0,-2), (-1,2,0),(1,1,2)]$. Problema 2 Encuentra el área, la masa y el centro de masa de la región elíptica $latex x^2+4y^2\le 4$ con densidad $latex \rho(x,y) = x^2+y^2$. Problema 3 Encuentra la masa del sólido descrito por $latex x\ge 0, \quad y\ge 0, \quad z\ge 0, \quad z^2\le 4x, \quad x^2+y^2\le 16,$ cuya densidad está dada por $latex \rho(x,y,z) = xyz^3$. Problema 4 Encuentra el centro de masa del sólido de densidad constante igual a 1 descrito por $latex x\ge 0, \quad y \ge 0, \quad x+y\le 2, \quad 0\le z\le 1+x+2y.$

Fecha de entrega: 12 de septiembre Problema 1 Integra la forma $latex xy^2dx+ ydy$ sobre cada una de las siguientes trayectorias de $latex (0,0)$ a $latex (1,1)$. Los segmentos de $latex (0,0)$ a $latex (0,1)$ a $latex (1,1)$ La curva $latex y = x^2$ La curva $latex x = y^2$ Problema 2 Integra la forma $latex yzdx + zxdy + xydz$ sobre cada una de las siguientes trayectorias de $latex (0,1,0)$ a $latex (2,1,1)$. El segmento Los segmentos de $latex (0,1,0)$ a $latex (0,1,1)$ a $latex (2,1,1)$ El arco $latex (2t, (2t-1)^2,t),\quad 0\le t\le 1$ Problema 3 Evalúa la integral $latex \displaystyle \int_\gamma (x^2-2xy+y^2)ds,$ donde $latex \gamma = \{(2\cos t, 2\sen t): 0\le t\le \pi\}$. Problema 4 Evalúa las siguientes integrales. $latex \displaystyle \int_R (x^2+y^2)dxdy, \quad R=\{(x,y)|1\le x\le 2, -1\le y\le 1\}$ $latex \displaystyle \int_R x\sen y dxdy, \quad R=\{(x,y)|0\le x\le 1, x^2\le y\le 2x^2\}$ $latex \displaystyle \int_R xydxdy, \quad R$ el triángulo con vértic...

Fecha de entrega: 5 de septiembre Problema 1 Evalúa la forma diferencial $latex 4dx - 2dy + 3dz$ en cada uno de los segmentos definidos por las siguientes parejas de vectores. $latex (-1, 2, 5), (-3, 3, 2)$ $latex (2,0,1), (-1,0,2)$ $latex (0,5,3), (-3,3,2)$ Problema 2 Evalúa la forma $latex ydx + zdy + xdz$ en cada uno de los segmentos del problema anterior. Problema 3 Muestra que el campo gravitacional generado por un cuerpo de masa $latex M$ en el origen está dado por $latex -GM \Big( \dfrac{x}{r^3}dx + \dfrac{y}{r^3}dy + \dfrac{z}{r^3}dz\Big)$, donde $latex r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$. (Nota que no está definido en el origen.) Además, muestra que el trabajo realizado por este campo al mover una partícula de $latex \vec a$ a $latex \vec b$ depende solo en $latex |\vec a|$ y $latex |\vec b|$. Problema 4 Calcula el flujo del fluido con velocidad $latex \vec v=(x+y,xy)$ en el plano a través de los segmentos definidos por los siguientes pares de vectores. $latex (2,2), (3,5)$ $latex...

Fecha de entrega: 29 de agosto Problema 1 Para cada una de las funciones $latex \vec r(t) = (t^2, -4t,-t^2)$   y   $latex \vec r(t) = (t\cos t, t\sen t, 1)$, calcula lo siguiente. $latex \vec v(t)$ y $latex \vec a(t)$. $latex r(t)$ y $latex v(t)$. El coseno del ángulo entre $latex \vec v(t)$ y $latex \vec a(t)$. ¿Para cuáles $latex t$ son estos vectores perpendiculares o paralelos? $latex \vec v\times\vec a$. La ecuación del plano osculatorio para cada $latex t$. La curvatura en cada $latex t$. Problema 2 Considera una partícula que se mueve sobre la elipse $latex r(2 + \cos\theta) = 2$, en el sentido opuesto a las manecillas del reloj alrededor del origen, y que barre una unidad de área por unidad de tiempo: $latex \dfrac{dA}{dt} = \dfrac{1}{2}r^2\dfrac{d\theta}{dt} = 1$. Encuentra la velocidad y aceleración en términos de las coordenadas locales. Problema 3 Marte tiene un radio aproximado de 3300 km y una masa 0.15 veces la de la Tierra. Calcula la velocidad de escape en ...

Fecha de entrega: 22 de agosto Problema 1 Para cada uno de los siguientes pares de vectores, calcula su suma, producto interno y producto cruz. $latex (2, -3, 1), (6, 2, -3)$ $latex (5, -6, 1), (3, 2, -3)$ $latex (3, 0, -2), (-6, 0, 4)$ $latex (-2, 5, 1), (3, 0, 6)$ Indica en cuáles de los pares anteriores los vectores son paralelos o perpendiculares. Problema 2 Considera el plano $latex \mathcal P$ definido por la ecuación $latex x - 4y + 7z = 3$ Encuentra un vector perpendicular al plano. Encuentra dos vectores que generen a $latex \mathcal P$. Encuentra una representación paramétrica. Encuentra la distancia del punto $latex (1,1,1)$ al plano. Encuentra la ecuación del plano paralelo a $latex \mathcal P$, pero que pasa por el punto $latex (2,0,3)$. Problema 3 Muestra que $latex |\vec a + \vec b|^2 + |\vec a - \vec b|^2 = 2|\vec a|^2 + 2|\vec b|^2$. ¿A qué propiedad geométrica se refiere esta identidad?

Fecha de entrega: 15 de agosto Problema 1 Para $latex a\ge b > 0$,  $latex \theta\in[0,2\pi]$ fijos, definimos $latex G = G(\phi) = (a\cos(\theta + \phi), b\sen(\theta + \phi))$ $latex G' = G'(\phi) = (a\cos(\theta - \phi), b\sen(\theta - \phi))$. Nota que, en la notación vista en clase, $latex Q=G(\phi/2), Q'=G'(\pi/2)$. Muestra que la pendiente de $latex GG'$ es $latex (-b/a)\cot\theta$ para todo $latex \phi$. Así, $latex GG'$ es paralela a $latex QQ'$. Si $latex H$ en la elipse es tal que $latex GH$ es paralela a $latex QQ'$, entonces $latex H = G'$. Prueba la propiedad (ii) vista en clase usando el punto anterior, y mostrando que el punto medio de $latex GG'$ es igual a $latex M=\cos\phi(a\cos\theta,b\sen\theta)$. Prueba la propiedad  (iii) mostrando que $latex |PM||P'M| = \sen^2\phi |OP|^2$, y que $latex |GM|^2 = \sen^2\phi |OQ|^2$. Muestra que el área del triángulo $latex QOP$ es $latex ab/2$. Concluye la propiedad  (iv) ...

Fecha de entrega: 2 de diciembre Problema 1 Utiliza el teorema de Green para evaluar la integral de línea $latex \displaystyle \oint_C x^3y dx + xy dy,$ donde $latex C$ es el cuadrado con vértices en $latex (0,0), (2,0), (2,2), (0,2).$ Problema 2 Utiliza el teorema de Green para evaluar la integral de línea $latex \displaystyle \oint_C x\sen y\, dx - x\cos y\, dy,$ donde $latex C$ es el rectángulo $latex (1, \pi/2), (3, \pi/2), (3, \pi), (1, \pi)$. Problema 3 Encuentra el trabajo realizado por la fuerza $latex \Big( y^2 + \dfrac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}\Big)dx + \Big( x^3 + \dfrac{y^2}{\sqrt{1+y^2}}\Big) dy$ en una partícula que gira, en dirección opuesta a las manecillas del reloj, sobre el círculo $latex x^2 + y^2 = 4.$ Problema 4 Utiliza el teorema de Gauss para evaluar $latex \displaystyle \int_S (x-y)dydz + (y^2+z^2)dzdx + (y-x^2)dxdy,$ donde $latex S$ es la superficie del cubo $latex [0,1]\times[0,1]\times[0,1]$, con la orientación del vector normal hacia afuera. Problema 5 Utiliza el ...

Fecha de entrega: 25 de noviembre Problema 1 Calcula el diferencial $latex d\omega$ de las siguientes formas. $latex \omega = x^2y dx + xy^2 dy$ en $latex \R^2$ $latex \omega = (x-y)^2 dx + xyz dy - (x-z)^2 dz$ en $latex \R^3$ $latex \omega = \sen xy \, dydz + \sen yz \, dzdx + \sen xz \, dxdy$ en $latex \R^3$ $latex \omega = 2xy^2z^2 dx + (2x^2yz^2 - 2)dy + (2x^2y^2z +2z)dz$ en $latex \R^3$ Problema 2 Para las 1-formas en $latex \R^3$ $latex \w_1 = f dx + g dy + h dz \qqy \w_2 = r dx + s dy + t dz,$ verifica la identidad $latex d(\w_1 \w_2) = (d\w_1)\w_2 - \w_1(d\w_2).$ Problema 3 Muestra que la 1-forma $latex \w = \dfrac{(x+1)dx + y dy}{\sqrt{(x+1)^2 + y^2}}$ es cerrada. ¿Dónde no está definida? Problema 4 Integra la 1-forma $latex \w$ del problema anterior sobre las curvas de $latex (-2,0)$ a $latex (2,0)$ $latex C_1 = \Big\{ (2\sen t, 2\cos t): -\dfrac{\pi}{2} \le t \le \dfrac{\pi}{2} \Big\}$ y $latex C_2 = \Big\{(2\sen t, -2\cos t): -\dfrac{\pi}{2} \le t \le \dfrac{\pi}{2}...

Fecha de entrega: 18 de noviembre Problema 1 Encuentra los puntos estacionarios, y describe su tipo (máximo o mínimo local, punto silla). $latex f(x,y) = x^2 - 2xy - y^2 + 4x - 2y$ $latex f(x,y) = 3x^2 - 6xy + 3y^2 + 2x - 2y$ $latex f(x,y) = \sen x \cos y$ $latex f(x,y) = x^2 - 4y^2 + 2z^2 - 3xy + 4yz + 2y - 3z$ $latex f(x,y) = y^2 - x^2y - yz^2 + x^2z^2$ Problema 2 Encuentra los extremos de $latex f$, sujetos a las restricciones descritas. $latex f(x,y) = x^3 - xy^2, \quad x^2 + y^2 = 1$ $latex f(x,y) = x^2 + y^2, \quad x^3 - xy^2 = 1$ $latex f(x,y) = 2x + 3y, \quad x^2 - 2xy + 2y^2 = 1$ $latex f(x,y) = x^2 + y^2 + z^2, \quad 3x - y + 2z = 14$ $latex f(x,y) = x^2 + y^2 + z^2, \quad (x-y)^2 = 1, xyz = 1$ Problema 3 Encuentra las dimensiones del paralelelípedo de volumen máximo, cuyas aristas son paralelas a los ejes, y que puede ser inscrito en la elipsoide $latex x^2 + \dfrac{y^2}{4} + \dfrac{z^2}{9} = 1$

Fecha de entrega: 11 de noviembre Problema 1 Utiliza diferenciación implícita para expresar $latex dy/dx$ en términos de $latex x$ y $latex y$. Indica cuándo esta derivada está bien definida. $latex x^2y + x^3y^4 = 1$ $latex x e^y + y e^x = 2e$ $latex \log(x^2 + xy) = 1$ Problema 2 Encuentra $latex \partial y/\partial x$ en el punto especificado, si existe, considerando $latex z$ constante. $latex \dfrac{x^2 + y^2}{y^2 + z^2} = 1$ en $latex (-1, 3, 1)$ $latex \log(xyz) = 3$ en $latex (e, e^2, 1)$ $latex \sen x \cos y - \cos x \sen z = 0$ en $latex (\pi/2, 0, \pi/2)$ Problema 3 $latex x, y, u, \text{ y } v$ están relacionadas por las ecuaciones $latex \begin{array}{rcl}xy & = & 2e^{uv}\\x + y&=& e^{u+v}.\end{array}$ Si $latex v$ se mantiene constante, encuentra $latex \partial x/\partial u$ en el punto $latex (x,y,u,v) = (1,2,0,\log 3)$. Si $latex y$ se mantiene constante, encuentra $latex \partial x/\partial u$ en el mismo punto. Problema 4 Sean $latex x, y,...