Tarea 7, Cálculo 3

Fecha de entrega: 26 de septiembre

Problema 1

Averigua cuáles de las siguientes transformaciones del plano son lineales. En tal caso, calcula su matriz y su determinante.

1. Cizalla: $latex (x,y) \mapsto (x+cy, y)$, para alguna constante $latex c$


2. Traslación: $latex (x,y)\mapsto (x+a,y+b)$, para $latex a,b$ constantes


3. Explosión: $latex (x,y) \mapsto (ax,by)$, para $latex a,b$ constantes


4. Rotación: si $latex x=r\cos\theta$ y $latex y=r\sen\theta$, entonces $latex (x,y)\mapsto (r\cos(\theta+\varphi),r\sen(\theta+\varphi))$, para alguna constante $latex \varphi$


5. Proyección: dado un vector fijo $latex \vec r=(a,b)$, $latex \vec x \mapsto \vec x_r = \dfrac{\vec x\cdot\vec r}{r^2}\vec r$


6. Reflexión: dado un vector fijo $latex \vec r=(a,b)$, $latex \vec x\mapsto \vec x - 2\vec x_{r\perp} = 2\vec x_r - \vec x$

Problema 2

Calcula el determinante de las siguientes matrices.

1. $latex \begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&4\\3&4&5\end{pmatrix}$


2. $latex \begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&6\end{pmatrix}$


3. $latex \begin{pmatrix}1&0&2&0\\3&0&-1&1\\0&5&0&-2\\1&2&-3&1\end{pmatrix}$

Problema 3

Muestra que

$latex \det\begin{pmatrix}1&1&1\\a&b&c\\a^2&b^2&c^2\end{pmatrix} = (b-a)(c-a)(c-b).$

Problema 4

Muestra que la ecuación del plano que contiene a los tres puntos $latex (x_0,y_0,z_0), (x_1,y_1,z_1), (x_2,y_2,z_2)$ está dada por

$latex \det\begin{pmatrix}1&1&1&1\\x&x_0&x_1&x_2\\y&y_0&y_1&y_2\\z&z_0&z_1&z_2\end{pmatrix} = 0$.