Fecha de entrega: 28 de febrero
Problema 1
Evalúa ∫γy2dx+x2dy sobre las siguientes curvas de (0,0) a (2,4):
- la parábola y=x2
- el intervalo horizontal de (0,0) a (2,0) seguido por el intervalo vertical de (2,0) a (2,4)
- el intervalo vertical de (0,0) a (0,4) seguido por el intervalo horizontal de (0,4) a (2,4).
Problema 2
Evalúa ∫∂Dx2dy tanto directamente como usando el teorema de Green, donde D es el cuarto de disco visto en clase.
Problema 3
Muestra que si P y Q son funciones con valores complejos continuas en la curva γ, entonces
F(w)=∫γPdxz−w+∫γQdyz−w,z=x+iy,
es analítica en w∈\C∖γ. Además, expresa F′(w) como una integral de línea sobre γ.
Problema 4
Determina si las siguientes integrales en línea son independientes de curva; en tal caso, encuentra un potencial, y, en caso contrario, encuentra una curva cerrada donde su integral es distinta de cero.
- xdx+ydy
- x2dx+y5dy
- ydx+xdy
- ydx−xdy
Problema 5
Sean P y Q funciones suaves en el anillo {a<|z|<b} que satisfacen
∂Pdy=∂Qdx.
Utiliza el teorema de Green para mostrar que
∮|z|=rPdx+Qdy
es independiente de r∈(a,b).
Problema 6
Sean P y Q funciones suaves en D que satisfacen
∂Pdy=∂Qdx.
Sean γ0,γ1 dos curvas cerradas en D tales que, para cada t∈[0,1], el segmento de γ0(t) a γ1(t) está contenido en D. Muestra que
∫γ0Pdx+Qdy=∫γ1Pdx+Qdy.
Utiliza este resultado para dar una solución distinta al problema anterior.
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