Tarea 5, Cálculo 4

Fecha de entrega: 28 de febrero

Problema 1

Evalúa $latex \displaystyle \int_\gamma y^2dx+x^2dy$ sobre las siguientes curvas de $latex (0,0)$ a $latex (2,4)$:

1. la parábola $latex y=x^2$


2. el intervalo horizontal de $latex (0,0)$ a $latex (2,0)$ seguido por el intervalo vertical de $latex (2,0)$ a $latex (2,4)$


3. el intervalo vertical de $latex (0,0)$ a $latex (0,4)$ seguido por el intervalo horizontal de $latex (0,4)$ a $latex (2,4)$.

Problema 2

Evalúa $latex \int_{\partial D} x^2dy$ tanto directamente como usando el teorema de Green, donde $latex D$ es el cuarto de disco visto en clase.

Problema 3

Muestra que si $latex P$ y $latex Q$ son funciones con valores complejos continuas en la curva $latex \gamma$, entonces

$latex \displaystyle F(w) = \int_\gamma \frac{Pdx}{z-w} + \int_\gamma \frac{Qdy}{z-w}, \qquad z =x+iy,$

es analítica en $latex w\in\C\setminus\gamma$. Además, expresa $latex F'(w)$ como una integral de línea sobre $latex \gamma$.

Problema 4

Determina si las siguientes integrales en línea son independientes de curva; en tal caso, encuentra un potencial, y, en caso contrario, encuentra una curva cerrada donde su integral es distinta de cero.

1. $latex xdx + ydy$


2. $latex x^2dx + y^5dy$


3. $latex ydx + xdy$


4. $latex ydx - xdy$

Problema 5

Sean $latex P$ y $latex Q$ funciones suaves en el anillo $latex \{a<|z|<b\}$ que satisfacen

$latex \displaystyle \frac{\partial P}{dy} = \frac{\partial Q}{dx}$.

Utiliza el teorema de Green para mostrar que

$latex \displaystyle\oint_{|z|=r}Pdx +Qdy$

es independiente de $latex r\in(a,b)$.

Problema 6

Sean $latex P$ y $latex Q$ funciones suaves en $latex D$ que satisfacen

$latex \displaystyle \frac{\partial P}{dy} = \frac{\partial Q}{dx}$.

Sean $latex \gamma_0, \gamma_1$ dos curvas cerradas en $latex D$ tales que, para cada $latex t\in[0,1]$, el segmento de $latex \gamma_0(t)$ a $latex \gamma_1(t)$ está contenido en $latex D$. Muestra que

$latex \displaystyle\int_{\gamma_0}Pdx+Qdy = \int_{\gamma_1}Pdx+Qdy$.

Utiliza este resultado para dar una solución distinta al problema anterior.