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Tarea 5, Cálculo 4

Fecha de entrega: 28 de febrero


Problema 1


Evalúa γy2dx+x2dy sobre las siguientes curvas de (0,0) a (2,4):

  1. la parábola y=x2

  2. el intervalo horizontal de (0,0) a (2,0) seguido por el intervalo vertical de (2,0) a (2,4)

  3. el intervalo vertical de (0,0) a (0,4) seguido por el intervalo horizontal de (0,4) a (2,4).


Problema 2


Evalúa Dx2dy tanto directamente como usando el teorema de Green, donde D es el cuarto de disco visto en clase.

Problema 3


Muestra que si P y Q son funciones con valores complejos continuas en la curva γ, entonces

F(w)=γPdxzw+γQdyzw,z=x+iy,


es analítica en w\Cγ. Además, expresa F(w) como una integral de línea sobre γ.

Problema 4


Determina si las siguientes integrales en línea son independientes de curva; en tal caso, encuentra un potencial, y, en caso contrario, encuentra una curva cerrada donde su integral es distinta de cero.

  1. xdx+ydy

  2. x2dx+y5dy

  3. ydx+xdy

  4. ydxxdy


Problema 5


Sean P y Q funciones suaves en el anillo {a<|z|<b} que satisfacen

Pdy=Qdx.


Utiliza el teorema de Green para mostrar que

|z|=rPdx+Qdy


es independiente de r(a,b).

Problema 6


Sean P y Q funciones suaves en D que satisfacen

Pdy=Qdx.


Sean γ0,γ1 dos curvas cerradas en D tales que, para cada t[0,1], el segmento de γ0(t) a γ1(t) está contenido en D. Muestra que

γ0Pdx+Qdy=γ1Pdx+Qdy.


Utiliza este resultado para dar una solución distinta al problema anterior.

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