Tarea 3, Cálculo 3

Fecha de entrega: 29 de agosto

Problema 1

Para cada una de las funciones

$latex \vec r(t) = (t^2, -4t,-t^2)$   y   $latex \vec r(t) = (t\cos t, t\sen t, 1)$,

calcula lo siguiente.

1. $latex \vec v(t)$ y $latex \vec a(t)$.


2. $latex r(t)$ y $latex v(t)$.


3. El coseno del ángulo entre $latex \vec v(t)$ y $latex \vec a(t)$. ¿Para cuáles $latex t$ son estos vectores perpendiculares o paralelos?


4. $latex \vec v\times\vec a$.


5. La ecuación del plano osculatorio para cada $latex t$.


6. La curvatura en cada $latex t$.

Problema 2

Considera una partícula que se mueve sobre la elipse

$latex r(2 + \cos\theta) = 2$,

en el sentido opuesto a las manecillas del reloj alrededor del origen, y que barre una unidad de área por unidad de tiempo:

$latex \dfrac{dA}{dt} = \dfrac{1}{2}r^2\dfrac{d\theta}{dt} = 1$.

Encuentra la velocidad y aceleración en términos de las coordenadas locales.

Problema 3

Marte tiene un radio aproximado de 3300 km y una masa 0.15 veces la de la Tierra. Calcula la velocidad de escape en la superficie de Marte.

Problema 4

Considera un cohete prendido a 300 km sobre la superficie de la Tierra, $latex 6{.}7\times 10^6$ m del centro de la tierra. En este punto se apagan los motores y el cohete entra en órbita. $latex \phi$ denota el ángulo entre $latex \vec r$ y $latex \vec v$.

1. ¿Qué velocidad debería llevar el cohete para mantener una órbita circular? ¿Cuál sería su periodo en dicha órbita?


2. Si su velocidad es 9000 m/s y $latex \phi=\pi/2$, ¿cuáles son los valores del apogeo y perigeo de su órbita? ¿Cuál es su periodo?


3. Si su velocidad es 9000 m/s, encuentra el valor de $latex \phi$ que resulta en una órbita con perigeo de $latex 6{.}5\times 10^6$ m. ¿Cuáles son los valores de la excentricidad, apogeo y periodo de su órbita?