Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 4 de marzo Problema 1 ¿Cuántos subconjuntos de {1, 2, 3, ..., n} no contienen dos enteros consecutivos? Problema 2 Muestra que $latex F_{3n}$ es par. Muestra que $latex F_{5n}$ es divisible entre 5. Problema 3 Muestra las siguientes identidades. $latex F_1 + F_3 + \ldots + F_{2n-1} = F_{2n}$ $latex F_0^2 + F_1^2 + F_2^2 + \ldots + F_n^2 = F_n\cdot F_{n+1}$ $latex \displaystyle \binom{n}{0}F_0 + \binom{n}{1}F_1 + \binom{n}{2}F_2 + \ldots + \binom{n}{n}F_n = F_{2n}$ $latex \displaystyle \binom{n}{0}F_1 + \binom{n}{1}F_2 + \binom{n}{2}F_3 + \ldots + \binom{n}{n}F_{n+1} = F_{2n+1}$ Problema 4 Los números de Lucas $latex L_0, L_1, L_2, L_3, \ldots$ satisfacen la ecuación de recurrencia $latex L_n = L_{n-1} + L_{n-2}$ con términos iniciales $latex L_0 = 2, L_1 = 1$. Muestra que $latex L_n = F_{n-1} + F_{n+1}$ para $latex n\ge1$. Encuentra una fórmula explícita para $latex L_n$. Problema 5 Resuelve las siguientes ecuaciones de recurrencia. $latex x_n = x_{n...

Fecha de entrega: 26 de febrero Problema 1 Muestra que, si los eventos A y B son excluyentes, entonces $latex P(A) + P(B) = P(A\cup B).$ Muestra que, para cualquiera dos eventos A y B , $latex P(A\cap B) + P(A\cup B) = P(A) + P(B).$ Problema 2 Al tirar un dado, considera los eventos P = "par",  I = "impar",  T = "múltiplo de 3" y  G = "más grande que 3". ¿Cuáles parejas de estos eventos son independientes? ¿Cuáles son excluyentes? Problema 3 Muestra que $latex \emptyset$ es independiente de cualquier otro evento. ¿Existe otro evento así? Problema 4 Considera un experimento  S que se repite  n veces ($latex n\ge 2$), y sea $latex s\in S$. Si  A es el evento que  s sale primero, y  B es el evento que  s sale al final, muestra que  A y  B son independientes. Problema 5 Sea  S = {1, 2, ..., 100} y seleccionamos un subconjunto  X al azar uniformemente, de tal forma que cualquier subconjunto tiene la misma probabilidad de ser selec...

Fecha de entrega: 19 de febrero Problema 1 Demuestra la identidad $latex \displaystyle\binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2} - \binom{n}{3} +\cdots + (-1)^n\binom{n}{n} = 0$ utilizando el principio de inclusión-exclusión. Problema 2 ¿De cuántas formas puedes acodomodar 8 torres (iguales) en un tablero de ajedrez de tal forma que no se ataquen entre sí? Responde la pregunta anterior, pero si tenemos 4 torres blancas y 4 torres negras. Repite la pregunta, pero en el caso en que las 8 torres son distintas. Problema 3 Las palabras ERRATA y BARBAS tienen el mismo número de anagramas, porque tienen el mismo número de letras con las mismas repeticiones (6 = 2 + 2+ 1 + 1). En ese caso decimos que las palabras son "esencialmente iguales". Por ejemplo, SANTAS es esencialmente igual a ellas, también, pero HERRAJE no lo es (también tiene dos pares de letras repetidas, pero tiene 7 en total). Si dos palabras no son esencialmente iguales, entonces son "esencialmente distinta...

Fecha de entrega: 12 de febrero Problema 1 n niños y  n niñas salen a bailar en parejas, ¿de cuántas formas pueden hacerlo? (Solo parejas niño-niña.) Problema 2 Demuestra con un argumento combinatórico que $latex \displaystyle  \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} = \binom{n}{k}.$ Problema 3 Demuestra combinatóricamente que $latex \displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}.$ Problema 4 Ana tiene 10 pelotas. Primero, las separa en dos grupos (no necesariamente del mismo tamaño). En seguida, toma uno de los dos grupos, que tenga al menos dos pelotas, y lo separa en dos grupos. Así continúa separando cada grupo en dos, hasta que termina con puros grupos de una pelota. ¿Cuántos pasos le toma hacer esto? Muestra que el número de formas distintas en que puede hacer este proceso es $latex \displaystyle \binom{10}{2}\cdot\binom{9}{2}\cdots\binom{2}{2}.$ Problema 5 De un grupo de estudiantes, a 23 de ellas les gusta jugar futbol, a 18 les gusta jugar ajedrez, a 21 andar en bici...

We proved last Thursday the following theorem. Theorem.  (Bernstein) Let $latex T(x)$ be a trigonometric polynomial of degree N. Then $latex \displaystyle \max_x|T'(x)| \le 2\pi N\max_x |T(x)|$. Bernstein's inequality provides an estimate for the derivative of $latex T(x)$ in terms of its degree and its maximum. The inequality is sharp, since the polynomial $latex T(x) = \sin 2\pi Nx$ satisfies the equality. We also proved the following corollary. Corollary.   Let $latex T(x)$ be a trigonometric polynomial of degree N. Then $latex \displaystyle \max_x |T(x)| \le 2\pi N\int_0^1 |T(x)|dx$. We observed that Fejér's kernel $latex \displaystyle F_{N+1}(x) \sum_{n=-N}^N \Big(1 - \frac{|n|}{N+1}\Big)e^{2\pi inx} = \frac{1}{N+1}\Big(\frac{\sin \pi(N+1)x}{\sin \pi x}\Big)^2$ proves the inequality in the Corollary is essentially sharp, as its maximum is $latex N+1$ and its integral is 1. In fact, $latex F_{N+1}$ also proves that Bernstein's inequality is essentially sharp. Exerc...

Fecha de entrega: 5 de febrero Problema 1 10 personas desean jugar entre ellas ajedrez, en 5 tableros distintos. ¿De cuántas formas pueden hacerlo, si no importa el tablero que usan ni el color de las piezas de cada quien? ¿De cuántas formas pueden hacerlo, si sí importa el tablero, pero no el color? ¿De cuántas formas si sí importa el color, pero no el tablero? ¿De cuántas formas si importan ambas? Problema 2 Considera la codificación binaria de subconjuntos de un conjunto vista en clase. ¿A qué números corresponden los subconjuntos de un solo elemento? ¿A qué número corresponde el comjunto completo? ¿A qué subconjuntos corresponden los números pares? Problema 3 Dibuja un árbol de decisión que ilustre el conteo de sucesión de longitud 2 formadas con los símbolos a , b , y c . Problema 4 En una tienda deportiva se venden playeras de 5 colores distintos, shorts de 4 colores diferentes, y calcetas de 3 colores diferentes. ¿Cuántos uniformes diferentes se pueden comprar? Pro...