Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 30 de mayo Problema 1 Encuentra todas las posibles expansiones de Laurent las siguientes funciones, centradas en el punto dado. Describe los anillos de convergencia de cada una. $latex \displaystyle \frac{1}{z^2+z}$, alrededor de $latex z=1$ $latex \displaystyle e^{1/z^3}$, alrededor de $latex \infty$ $latex \displaystyle \frac{1}{(z-1)(z^3+z)}$, alrededor de $latex z=0$ Problema 2 Encuentra la descomposición en fracciones parciales de cada una de las siguientes funciones. $latex \dfrac{1}{(z+1)(z^2+2z+2)}$ $latex \dfrac{z^9+1}{z^6-1}$ $latex \dfrac{1}{(z^2+1)^2}$ Problema 3 Evalúa las siguientes integrales. $latex \displaystyle \oint_{|z|=2} \frac{e^z}{z^2-1}dz$ $latex \displaystyle \oint_{|z-1|=1} \frac{1}{z^8-1}dz$ Problema 4 Utiliza la teoría del residuo de verificar las siguientes integrales. $latex \displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{x}{(x^2+2x+2)(x^2+4)} dx = -\frac{\pi}{10}$ $latex \displaystyle \int_0^\infty \frac{\log x}{x^3-1} dx =

Fecha de entrega: 23 de mayo Problema 1 Muestra las siguientes identidades, utilizando el contorno apropiado. $latex \displaystyle \int_0^\infty \frac{x^{-a}}{1+x} dx = \frac{\pi}{\sen \pi a}, \qquad 0 < a < 1$ $latex \displaystyle \int_0^\infty \frac{\log x}{x^a(x+1)} dx = \frac{\pi^2\cos\pi a}{\sen^2\pi a}, \qquad 0 < a < 1$ $latex \displaystyle \int_0^\infty \frac{\log x}{x^a(x-1)} dx = \frac{2\pi^2}{1-\cos(2\pi a)}, \qquad 0 < a < 1$ $latex \displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin ax}{x(\pi^2-a^2x^2)} dx = \frac{2}{\pi}, \qquad a > 0$ $latex \displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{\sen^2 x}{x^2} dx = \pi$ Problema 2 Muestra la identidad de valor principal $latex \displaystyle \PV\int_0^\infty \frac{x^{a-1}}{x^b-1} dx = -\frac{\pi}{b} \cot\Big(\frac{\pi a}{b}\Big), \qquad 0 < a < b, b > 1$. ( Sugerencia: Considera el sector de apertura $latex 2\pi/b$.) Problema 3 Muestra que $latex \displaystyle \lim_{R\to\infty}\int_{-R}^R \frac{x^3\

Fecha de entrega: 16 de mayo Problema 1 Calcula los siguientes residuos. $latex \Res_{2i} \dfrac{1}{z^2+4}$ $latex \Res_1 \dfrac{1}{z^5-1}$ $latex \Res_0 \dfrac{\sin z}{z^2}$ $latex \Res_1 \dfrac{z}{\Log z}$ $latex \Res_0 \dfrac{e^z}{z^5}$ Problema 2 Evalúa las siguientes integrales usando el teorema del residuo. $latex \displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{\sin z}{z^2} dz$ $latex \displaystyle \oint_{|z-1/2|=3/2}\frac{\tan z}{z}dz$ Problema 3 Utiliza la teoría del residuo de verificar las siguientes integrales. $latex \displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{(x^2+a^2)^2} = \frac{\pi}{2a^3},\qquad a>0$ $latex \displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{x^2}{x^4+1} dx = \frac{\pi}{\sqrt 2}$ $latex \displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{\cos x}{(x^2+1)^2} dx = \frac{\pi}{e}$ $latex \displaystyle \int_0^{2\pi} \frac{\cos\theta}{2+\cos\theta} d\theta = 2\pi\Big(1 - \frac{2}{\sqrt 3}\Big)$ $latex \displaystyle \int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{a+b\sin\theta} = \frac{2

Fecha de entrega: 9 de mayo Problema 1 Muestra que, si $latex f(z)$ y $latex g(z)$ tienen período $latex \omega$, entonces también $latex f(z) + g(z)$ y $latex f(z)g(z)$. Problema 2 Expande la función $latex 1/\cos(2\pi z)$ en una serie de potencias de $latex e^{2\pi i z}$ que converge en el semiplano superior. Determina dónde la serie converge absolutamente y dónde uniformemente. Problema 3 Expande $latex \tan z$ en una serie de potencias de $latex e^{ikz}$ que converge en el semiplano superior. También encuentra una serie de exponenciales que converge en el semiplano inferior. Problema 4 Considera la función continua $latex f(e^{i\theta}) = |\theta|, -\pi\le\theta\le\pi$. Encuentra la serie de Fourier de $latex f(e^{i\theta})$ y muestra que se puede escribir en una serie de cosenos. Discute su convergencia. En particular, ¿converge uniformemente? Problema 5 Sea $latex f(e^{i\theta}) = \theta, -\pi < \theta\le\pi$. Encuentra su serie de Fourier, y escríbela como una serie de senos.