Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 2 de diciembre Problema 1 Dibuja la región limitada por las curvas dadas, y utiliza el método de las capas para calcular el volumen del sólido de revolución generado al girar la región alrededor del eje $y$. $y = x, y = 0, x = 1$ $y = \sqrt x, x = 4, y = 0$ $y = \sqrt x, y = x^3$ $y = x, y = 2x, y = 4$ $x = y^2, x = y + 2$ $x = \sqrt{9 - y^2}, x = 0$ Problema 2 Dibuja la región limitada por las curvas dadas, encuentra su centro de masa, y utiliza el teorema de Pappus para calcular el volumen de los sólidos de revolución obtenidos al girar la región alrededor de ambos ejes. $y = x^3, y = 0, x = 2$ $y = x^3, y = \sqrt x$ $y = 3x, y = 6, x = 1$ $y = x^2 + 1, y = 1, x = 3$ $y = \sqrt{1 - x^2}, x + y =1$ $y = x^{1/3}, y = 1, x = 8$ Problema 3 Encuentra el volumen del cono de helado formado por un cono recto, de semiángulo $\theta$ e hipotenusa $R$, y una semi...

Fecha de entrega: 2 de diciembre Problema 1 Utiliza el teorema de Green para evaluar la integral de línea $\displaystyle \oint_C x^3y dx + xy dy,$ donde $C$ es el cuadrado con vértices en $(0,0), (2,0), (2,2), (0,2).$ Problema 2 Utiliza el teorema de Green para evaluar la integral de línea $\displaystyle \oint_C x\sen y\, dx - x\cos y\, dy,$ donde $C$ es el rectángulo $(1, \pi/2), (3, \pi/2), (3, \pi), (1, \pi)$. Problema 3 Encuentra el trabajo realizado por la fuerza $\Big( y^2 + \dfrac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}\Big)dx + \Big( x^3 + \dfrac{y^2}{\sqrt{1+y^2}}\Big) dy$ en una partícula que gira, en dirección opuesta a las manecillas del reloj, sobre el círculo $x^2 + y^2 = 4.$ Problema 4 Utiliza el teorema de Gauss para evaluar $\displaystyle \int_S (x-y)dydz + (y^2+z^2)dzdx + (y-x^2)dxdy,$ donde $S$ es la superficie del cubo $[0,1]\times[0,1]\times[0,1]$, con la orientación del vector normal hacia afuera. Problema 5 Utiliza el ...

Fecha de entrega: 25 de noviembre Problema 1 Dibuja la región limitada por las curvas dadas, y encuentra el volumen del sólido obtenido al rotarla alrededor del eje $x$. $y = x^2, y = 9$ $y = x^2, y = x^{1/3}$ $y = x^2, y = x + 2$ $y = 1 - |x|, y = 0$ $y = \cos x, y = x + 1, x = \pi/2$ Problema 2 Dibuja la región limitada por las curvas dadas, y encuentra el volumen del sólido obtenido al rotarla alrededor del eje $y$. $x + 3y = 6, x = 0, y = 0$ $y = \sqrt x, y = x^3$ $x = y^3, x = 8, y = 0$ $y = x, y = 2x, x = 4$ $x = y^2, x = 2 - y^2$ Problema 3 La base de un sólido es el círculo $x^2 + y^2 = R^2$, y sus secciones transversales (rebanadas) perpendiculares al eje $x$ son cuadradas. Encuentra su volumen. Problema 4 Encuentra el volumen del sólido obtenido al girar la elipse $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ alrededor del eje $x$.

Fecha de entrega: 25 de noviembre Problema 1 Calcula el diferencial $d\omega$ de las siguientes formas. $\omega = x^2y dx + xy^2 dy$ en $\R^2$ $\omega = (x-y)^2 dx + xyz dy - (x-z)^2 dz$ en $\R^3$ $\omega = \sen xy \, dydz + \sen yz \, dzdx + \sen xz \, dxdy$ en $\R^3$ $\omega = 2xy^2z^2 dx + (2x^2yz^2 - 2)dy + (2x^2y^2z +2z)dz$ en $\R^3$ Problema 2 Para las 1-formas en $\R^3$ $\w_1 = f dx + g dy + h dz \qqy \w_2 = r dx + s dy + t dz,$ verifica la identidad $d(\w_1 \w_2) = (d\w_1)\w_2 - \w_1(d\w_2).$ Problema 3 Muestra que la 1-forma $\w = \dfrac{(x+1)dx + y dy}{\sqrt{(x+1)^2 + y^2}}$ es cerrada. ¿Dónde no está definida? Problema 4 Integra la 1-forma $\w$ del problema anterior sobre las curvas de $(-2,0)$ a $(2,0)$ $C_1 = \Big\{ (2\sen t, 2\cos t): -\dfrac{\pi}{2} \le t \le \dfrac{\pi}{2} \Big\}$ y $latex C_2 = \Big\{(2\sen t, -2\cos t): -\dfrac{\pi}{2} \le t \le \dfrac{\pi}{2}...

Fecha de entrega: 18 de noviembre Problema 1 Calcula las siguientes antiderivadas mediante un cambio de variable. $\displaystyle \int \frac{dx}{(2 - 3x)^2}$ $\displaystyle \int \sqrt{ax + b} dx$ $\displaystyle \int \frac{t}{(4t^2 + 9)^2} dt$ $\displaystyle \int x^{n-1} \sqrt{a + bx^n} dx$ $\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{ x^2 + 1}} dx$ $\displaystyle \int 2x^3 (1 - x^4)^{-1/4} dx$ $\displaystyle \int \frac{b^3 x^3}{\sqrt{1 - a^4x^4}} dx$ $\displaystyle \int x\sqrt{x+1} dx$ $\displaystyle \int x\sqrt{2x-1} dx$ $\displaystyle \int t(2t+3)^8 dt$ Problema 2 Calcula las siguientes integrales mediante un cambio de variable. $\displaystyle \int_0^1 x(x^2 + 1)^3 dx$ $\displaystyle \int_{-1}^1 \frac{r}{(1 + r^2)^4} dr$ $\displaystyle \int_0^3 \frac{r}{\sqrt{r^2 + 16}} dr$ $\displaystyle \int_0^a y\sqrt{a^2 - y^2} dy$ Problema 3 Calcula el área bajo la curva de la gráfica de la funci...

Fecha de entrega: 18 de noviembre Problema 1 Encuentra los puntos estacionarios, y describe su tipo (máximo o mínimo local, punto silla). $f(x,y) = x^2 - 2xy - y^2 + 4x - 2y$ $f(x,y) = 3x^2 - 6xy + 3y^2 + 2x - 2y$ $f(x,y) = \sen x \cos y$ $f(x,y) = x^2 - 4y^2 + 2z^2 - 3xy + 4yz + 2y - 3z$ $f(x,y) = y^2 - x^2y - yz^2 + x^2z^2$ Problema 2 Encuentra los extremos de $f$, sujetos a las restricciones descritas. $f(x,y) = x^3 - xy^2, \quad x^2 + y^2 = 1$ $f(x,y) = x^2 + y^2, \quad x^3 - xy^2 = 1$ $f(x,y) = 2x + 3y, \quad x^2 - 2xy + 2y^2 = 1$ $f(x,y) = x^2 + y^2 + z^2, \quad 3x - y + 2z = 14$ $f(x,y) = x^2 + y^2 + z^2, \quad (x-y)^2 = 1, xyz = 1$ Problema 3 Encuentra las dimensiones del paralelelípedo de volumen máximo, cuyas aristas son paralelas a los ejes, y que puede ser inscrito en la elipsoide $x^2 + \dfrac{y^2}{4} + \dfrac{z^2}{9} = 1$

Seminario CUICBAS : The Halo Conjecture , por Paul Hagelstein, de la Universidad Baylor, en Waco, Texas. Jueves , 5:00pm , auditorio de la Facultad de Ciencias. Abstract: The Halo Conjecture has long provided a fascinating open problem in the theory of differentiation of integrals. Recent progress towards the resolution of this conjecture will be discussed, in particular the theorem of Hagelstein and Stokolos that any density basis consisting of a homothecy invariant collection of convex sets must necessarily differentiate L p for sufficiently large p. Connections between this result, the recent work of Bateman and Katz on Kakeya sets and directional maximal operators, and improvements on the well-known theorem of Cordoba and Fefferman relating the L p bounds of geometric maximal operators to those of certain multiplier operators will also be given.

Conferencia de la semana : The Needle Problem , por Paul Hagelstein, de la Universidad Baylor, en Waco, Texas. Jueves 10 de noviembre, 12:00pm, auditorio de la Facultad de Ciencias. Resumen: We will consider the following famous problem of the Japanese mathematician Soichi Kakeya: What is the smallest possible area of a set in the plane in which a segment of length 1 can be turned around through 360 degrees?

Fecha de entrega: 11 de noviembre Problema 1 Dibuja la región limitada por las curvas y calcula su área. $y = 5 - x^2, \quad y = 3 - x$ $y = \sqrt x, \quad y = \dfrac{1}{4}x$ $x - y^2 + 3 = 0, \quad x - 2y = 0$ $y = x^2, \quad y = -\sqrt x, \quad x = 4$ $y = x, \quad y = \sen x, \quad x = \pi/2$ Problema 2 Sea $f(x) = \begin{cases}x^2 + 1& 0\le x\le 1\\3-x&1<x\le 3.\end{cases}$ Dibuja un bosquejo de la gráfica de $f(x)$ y encuentra el área de la región limitada entre su gráfica y el eje $x$. Problema 3 Calcula las siguientes antiderivadas. $\displaystyle\int \frac{dx}{x^4}$ $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{1+x}}$ $\displaystyle\int (t-a)(t-b) dt$ $\displaystyle\int f(x) f'(x) dx$ $\displaystyle\int \frac{4}{(4x+1)^2} dx$ Problema 4 Encuentra$f$ a partir de la siguiente información. $f'(x) = 2x - 1, \quad f(3) = 4$ $latex f'(x) = \sen x, \quad f(0) =...

Fecha de entrega: 11 de noviembre Problema 1 Utiliza diferenciación implícita para expresar $dy/dx$ en términos de $x$ y $y$. Indica cuándo esta derivada está bien definida. $x^2y + x^3y^4 = 1$ $x e^y + y e^x = 2e$ $\log(x^2 + xy) = 1$ Problema 2 Encuentra $\partial y/\partial x$ en el punto especificado, si existe, considerando $z$ constante. $\dfrac{x^2 + y^2}{y^2 + z^2} = 1$ en $(-1, 3, 1)$ $\log(xyz) = 3$ en $(e, e^2, 1)$ $\sen x \cos y - \cos x \sen z = 0$ en $(\pi/2, 0, \pi/2)$ Problema 3 $x, y, u, \text{ y } v$ están relacionadas por las ecuaciones $\begin{array}{rcl}xy & = & 2e^{uv}\\x + y&=& e^{u+v}.\end{array}$ Si $v$ se mantiene constante, encuentra $\partial x/\partial u$ en el punto $(x,y,u,v) = (1,2,0,\log 3)$. Si $y$ se mantiene constante, encuentra $\partial x/\partial u$ en el mismo punto. Problema 4 Sean $latex x, y,...

Fecha de entrega: 4 de noviembre Problema 1 Suponiendo que $\displaystyle \int_0^1 f = 6, \quad \int_0^2 f = 4, \quad \int_2^5 f = 1,$ encuentra cada una de las siguientes integrales. $\displaystyle \int_0^5 f$ $\displaystyle \int_1^2 f$ $\displaystyle \int_1^5 f$ $\displaystyle \int_2^0 f$ $\displaystyle \int_5^1 f$ Problema 2 Usa sumas inferiores y superiores adecuadas para demostrar que $\displaystyle 0{.}5 < \int_1^2 \frac{dx}{x} < 1;$ $\displaystyle 0{.}6 < \int_0^1 \frac{dx}{1 + x^2} < 1.$ Problema 3 Calcula los valores $F'(-1), F'(0), F'(1/2)\text{ y } F''(x)$ para cada una de las siguientes funciones. $\displaystyle F(x) = \int_0^x \frac{dt}{t^2 + 9}$ $\displaystyle F(x) = \int_x^1 t\sqrt{t^2 + 1} dt$ $\displaystyle F(x) = \int_1^x \sen\pi t dt$ $\displaystyle F(x) = \int_1^x \cos\pi t dt$ $\displaystyle F(x) = \int_2^x (t + 1)^3 dt$ Proble...

Fecha de entrega: 4 de noviembre Problema 1 Sea $R$ el paralelogramo con vértices $(1,0), (3,1), (4,4), (2,3)$. Muestra que $x = 1 + 2u + v \qquad y = u + 3v$ mapea el cuadrado unitario con vértices $(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)$ a $R$. Utiliza el pullback para evaluar $\displaystyle \int_R (2x + y) dxdy.$ Problema 2 Sea $R$ la región $R=\{ (x,y): 1\le x^2 + y^2 \le 2, y \ge |x| \}.$ Dibuja un bosquejo de $R$. Sea $u = x/y, v = x^2 + y^2$, de tal forma que $R$ se mapea al rectángulo $-1 \le u \le 1 \qquad 1 \le v \le 2.$ Muestra que $\latex dudv = 2(1 + u^2)dxdy$, y por lo tanto $dxdy = \dfrac{1}{2(1 + u^2)} dudv.$ Problema 3 Encuentra el Jacobiano de los siguientes cambios de variables. Coordenadas cilíndricas: $\begin{array}{rcl}x&=&r \cos\theta\\y&=&r\sen\theta\\z&=&z\end{array}$ Coordenadas esféricas $latex \begin{array}{rcl}x&=&\rho\cos\theta\cos\phi\\y&=&...

Fecha de entrega: 28 de octubre Problema 1 Un triángulo está formado por los ejes de coordenadas y una recta que pasa por el punto $(2,5)$, como en la figura. Determina el valor de la pendiente de esta recta que minimiza el área del triángulo. Problema 2 En un trozo rectangular de cartón de dimensiones $8\times 15$ se han cortado cuatro cuadrados iguales, uno en cada esquina, como se observa en la figura. El pedazo cruciforme restante se dobla de manera que forme una caja sin tapa. ¿Cuáles deberían ser las dimensiones de los cuadrados que se corten para maximizar el volumen de la caja construida por este procedimiento? Problema 3 Al pasar de un medio a otro, un rayo de luz forma un ángulo de incidencia $\theta_i$ y un ángulo de refracción $\theta_R$, como se ve en la figura. Si las velocidades de la luz en ambos medios son $v_1, v_2$, respectivamente, muestra la ley de Snell, $\dfrac{\sen\theta_i}{\sen\theta_R} = \dfrac{v_1}{v_2},$ partiendo del prin...

Fecha de entrega: 28 de octubre Problema 1 Muestra que la función $f(x,y) = \sqrt{|xy|}$ es continua en $\vec 0 = (0,0)$ y tiene derivadas parciales en todo $\R^2$. Sin embargo, muestra que $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ y $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ no son continuas en $\vec 0$. ¿Es $f$ diferenciable en $\vec 0$? Problema 2 Sea $f:\R^n\to\R$ tal que $D_{\vec u}f(\vec x_0) = 0$ para todo $x_0\in\R^n$ y todo vector unitario $\vec u$. Muestra que $f$ es constante. Problema 3 Sean $\vec u_1 = (1/\sqrt 2, 1/\sqrt 2)$ y $\vec u_2 = ( -1/\sqrt 5, 2/\sqrt 5)$, y supongamos que, en $\vec x_0 = (3,5)$, tenemos $D_{\vec u_1}f(\vec x_0) = 3\sqrt 2\qquad\text{ y }\qquad D_{\vec u_2}f(\vec x_0) = -1/\sqrt 5.$ Calcula $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ y $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ en $\vec x_0$. Problema 4 Calcula el gradiente $\nabla f$ para cada una de las siguie...

Fecha de entrega: 21 de octubre Problema 1 Encuentra los puntos críticos y los valores extremos locales de $f$. $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ $f(x) = (1 - x)^2(1 + x)$ $f(x) = \dfrac{2}{x(x+1)}$ $f(x) = \Big( \dfrac{x - 2}{x + 2}\Big)^3$ $f(x) = \dfrac{x^2}{1 + x}$ $f(x) = x^3 \sqrt{1-x}$ $f(x) = |x-3| + |2x+1|$ $f(x) = x^{2/3} + 3x^{-1/3}$ $f(x) = \sen^2 x - \sqrt 3 \sen x, \quad 0 < x < \pi$ $f(x) = 2\sen^3 x - 3\sen x, \quad 0 < x < \pi$ Problema 2 Averigua si la función toma sus valores máximo y mínimo, y en qué puntos. $f(x) = x^2 - 4x + 1, \quad x\in[0,3]$ $f(x) = x + \dfrac{1}{x^2}$ $f(x) = (x-1)(x-2), \quad x\in[0,2]$ $f(x) = \dfrac{x^2}{x^2+1}, \quad x\in[-1,2]$ $f(x) = x\sqrt{3-x}$ $f(x) = (4x-1)^{1/3}(2x-1)^{2/3}$ $f(x) = 2\cos^3 x + 3\cos x, \quad x\in[0,\pi]$ $f(x) = \sen^4 x - \sen^2 x, \quad x\in[0,2\pi/3]$ $latex...

Fecha de entrega: 21 de octubre Problema 1 Para la función $\displaystyle f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{x^2y}{x^4 + y^2} & (x,y)\not=(0,0)\\0& x=y=0,\end{cases}$ muestra que no existe un número $L$ y un $\delta=0$ tal que $|(x,y)|<\delta$ implica $|f(x,y) - L|<1/4$. Problema 2 Demuestra que $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2} = 0$ mostrando explícitamente que, dado $\e>0$, es posible encontrar $\delta>0$ tal que $\sqrt{(x-1)^2 + y^2} < \delta$ implica $\Big| \dfrac{xy}{x^2 + y^2} \Big| < \e.$ Utiliza los siguientes pasos: Muestra que si $|(x,y) - (1,0)| < \delta$, entonces $-\delta < y < \delta$ y $1- \delta < x < 1 +\delta$. De las desigualdades anteriores, muestra que si $0 < \delta < 1$ entonces $\Big| \dfrac{xy}{x^2 + y^2} \Big| < \dfrac{\delta(1+\delta)}{(1-\delta)^2}$. Utiliza el paso anterior para encontrar $latex ...

Debido a que las labores en la universidad han sido suspendidas también para el viernes, la entrega de tareas de esta semana para las clases de Cálculo1 y Cálculo 3 se pospone para el lunes, 17 de octubre, a la hora de cada clase.

El lunes pasado, en la clase Cálculo 1 , vimos el teorema de Rolle. Hace años escribí un texto de Michel Rolle en el blog. Les paso el link: Michel Rolle .

Fecha de entrega: 17 de octubre Problema 1 Contesta las siguientes preguntas. Justifica tus respuestas. ¿Existe una función diferenciable $f$ tal que $f(0) = 2, f(2) = 5$ y $f'(x) \le 1$ en $(0,2)$? Si no existe, ¿por qué no? ¿Existe una función diferenciable $f$ que tome el valor 1 solo cuando $x= 0, 2\text{ y }3$, y que $f'(x) = 0$ solo cuando $x=-1, 3/4\text{ y }3/2$? Si no existe, ¿por qué? Problema 2 Considera la función cuadrática $f(x) = Ax^2 + Bx + C$. Muestra que, para cualquier intervalo $[a,b]$, el valor de $c$ que verifica la conclusión del teorema del valor medio es $c = \dfrac{a + b}{2}$, el punto medio del intervalo. Problema 3 Sean $f(x) = |x|, a = -1\text{ y }b = 1$. Muestra que no existe $c\in(a,b)$ tal que $f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Explica por qué esto no contradice al teorema del valor medio. Problema 4 Muestra los siguientes enunciados. El polinom...

Fecha de entrega: 17 de octubre Problema 1 Indica cuáles de las siguientes funciones $F:\R^2\to\R^2$ en el plano son tranformaciones lineales. En tal caso, calcula su forma matricial. Las letras $a, b, c, \varphi$ representan constantes. Corte : $F(x,y) = (x + cy, y)$ Traslación : $F(x,y) = (x + a, y + b)$ Expansión : $F(x,y) = (ax, by)$ Rotación : $F(x,y) = (r\cos(\theta + \varphi), r\sen(\theta + \varphi)$, si $x = r\cos\theta$ y $y = r\sen\theta$. Proyección : $F(\vec x) = \vec x_r = \dfrac{\vec x \cdot \vec r}{|\vec r|^2}\vec r$, donde $\vec r = (a,b)\not= \vec 0$. Reflexión : $F(\vec x) = \vec x - 2\vec x_{r\perp} = 2\vec x_r - \vec x$. Problema 2 Para las transformaciones $L, M$ definidas por $latex \begin{array}{rclrcl}L(\vec i) & = & \vec i - 2\vec k, & M(\vec i) & = & - \vec j + 3\vec k ,\\ L(\vec j) & = & 3\vec j + \vec k, & M(\vec j) & = & 5\vec i + \ve...

Fecha de entrega: 7 de octubre Problema 1 Calcula la derivada de las siguientes funciones. $f(x) = \dfrac{1}{1 - 2x}$ $f(x) = (1 + 2x)^5$ $f(x) = (x^5 - x^{10})^{20}$ $f(x) = \Big(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\Big)^3$ $f(x) = \Big(x - \dfrac{1}{x}\Big)^4$ $f(x) = \Big( x + \dfrac{1}{x}\Big)^3$ $f(x) = (x - x^3 + x^5)^4$ $f(x) = \Big( \dfrac{1}{x-1}\Big)^4$ $f(x) = (x^2 - 1)^{100}$ $f(x) = (x - x^2)^3$ $f(x) = (x^{-1} + x^{-2})^4$ $f(x) = \Big(\dfrac{4x+3}{5x+2}\Big)^3$ $f(x) = \Big( \dfrac{3x}{x^2 + 1}\Big)^4$ $f(x) = \big( (2x + 1)^2 + (x+1)^3\big)^4$ $f(x) = \Big( \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^2}{2} + x\Big)^{-1}$ $f(x) = \sen^4\sqrt x$ $f(x) = x \cos x^2$ $f(x) = \tan x^2$ $f(x) = (x + \cot \pi x)^4$ $f(x) = (x^2 - \sec 2x )^3$ Problema 2 Encuentra $dy/dx$ en $x=0$. $y = \dfrac{1}{1 + u^2}, u = 2x + 1$ $latex y = u +...

Fecha de entrega: 7 de octubre Problema 1 Para cada una de las siguientes integrales, haz un bosquejo de la región de integración y evalúa la integral. $\displaystyle \int_R (x^2 + y^2) dxdy, R = \{ (x,y) | 1 \le x\le 2, -1 \le y\le 1 \}$ $\displaystyle \int_R x \sen y dxdy, R = \{ (x,y) | 0\le x\le 1, x^2\le y\le 2x^2\}$ $\displaystyle \int_R x\cos y dxdy, R = \{ (x,y)| 0\le y\le \pi/2, 0\le x \le \sen y\}$ $\displaystyle \int_R e^{xy} dxdy, R = \{ (x,y)| 0\le x\le (\log y)/y, 2\le y\le 3 \}$ $\displaystyle \int_R (x^3 + 2xy) dxdy, R$ igual al paralelogramo con vértices $(1, 3), (3,4), (4, 6)$ y $(2, 5)$. Problema 2 Describe la región $R$ sobre la cual se integra la integral iterada $\displaystyle \int_0^1 \int_{x^2}^1 x\sqrt{1-y^2} dydx.$ Reescribe esta integral integrando primero con respecto a $x$. Evalúa la integral. ¿Cuál de los dos órdenes de integración es más fácil de evaluar? Problema 3 Repite el ejercicio ...

El problema de momentos aplicado a la teoría de control , por Abdón Choque, UMSNH. Seminario CUICBAS . Viernes 30 de septiembre, 4:00pm. Auditorio de la Facultad de Ciencias. Resumen: En la plática consideramos un sistema de control lineal descrito por ecuaciones diferenciales ordinarias con restricciones en el control. Mediante el método del problema de momentos hallaremos todo el conjunto de controles admisibles, los cuales pertenecen a la clase de funciones medibles acotadas en un intervalo de R . Estos controles permiten trasladar un estado inicial dado al origen. Para un mejor entendimiento, consideraremos un sistema de control en R 2 .

Fecha de entrega: 30 de septiembre Problema 1 Integra la 1-forma $xy^2 dx + y dy$ sobre las siguientes trayectorias de $(0,0)$ a $(1,1)$. La línea recta de $(0,0)$ a $(1,1)$ La línea recta de $(0,0)$ a $(1,0)$, seguida de la línea de $(1,0)$ a $(1,1)$ Las líneas de $(0,0)$ a $(0,1)$ a $(1,1)$ La curva $y = x^2$ La curva $x = y^2$ Problema 2 Repite el problema anterior con la 1-forma $xy^2 dx + x^2 y dy$. Problema 3 Integra la 1-forma $\dfrac{-ydx + xdy}{x^2 + y^2}$ sobre las siguientes trayectorias de $(-1,0)$ a $(1,0)$. Las líneas de $(-1,0)$ a $(-1,1)$ a $(1,1)$ a $(1,0)$ Las líneas de $(-1,0)$ a $(0,1)$ a $(1,0)$ Las líneas de $(-1,0)$ a $(0,-1)$ a $(1,0)$ La curva $(-\cos t, \sen t)$, $0\le t \le \pi$ La curva $(-\cos t, -\sen t)$, $0\le t \le \pi$ Problema 4 Evalúa $latex ...

Fecha de entrega: 30 de septiembre Problema 1 Calcula la derivada de las siguientes funciones. $f(x) = 11x^5 - 6x^3 + 8$ $f(x) = \dfrac{x^4}{4} - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^2}{2} - x$ $f(x) = (x^2-1)(x-3)$ $f(x) = \dfrac{ax - b}{cx - d}$, con $a,b,c,d$ constantes $f(x) = (x-1)(x-2)$ $f(x) = \dfrac{1 + x^4}{x^2}$ $f(x) = \Big(1 + \dfrac{1}{x}\Big)\Big(1 + \dfrac{1}{x^3}\Big)$ $f(x) = 3\cos x - 4 \sec x$ $f(x) = \sen^2 x$ $f(x) = 3 x^2 \tan x$ $f(x) = x^2 \sec x$ $f(x) = \cos^2 x$ $f(x) = \tan^2 x$ $f(x) = x^3 \cosec x$ $f(x) = \dfrac{\sen^2 x}{x^2 + x + 1}$ Problema 2 Encuentra $f'(0)$ y $f'(1)$ $f(x) = \dfrac{1}{x-2}$ $f(x) = \dfrac{1 - x^2}{1+x^2}$ $f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d}$, con $a,b,c,d$ constantes $f(x) = \dfrac{ax^2 + bx + c}{cx^2 + bx + a}$, con $a,b,c$ constantes Problema 3 Si sabemos que...

Fecha de entrega: 23 de septiembre Problema 1 Calcula los límites, en caso que existan. $\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sen 3x}{5x}$ $\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{3x}{\sen 5x}$ $\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\tan^2 3x}{4x^2}$ $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sen x}{x^2}$ $\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{x^2 - 2x}{\sen 3x}$ $\displaystyle \lim_{x\to 0}x \csc x$ $\displaystyle \lim_{x\to 0}x^2(1 + \cot^23x)$ $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2x^2 + x}{\sen x}$ $\displaystyle \lim_{x\to \pi}\dfrac{\sen x}{x-\pi}$ $\displaystyle \lim_{x\to \pi/4}\frac{\sen x}{x}$ Problema 2 Utiliza el teorema del sandwich para mostrar que $\displaystyle \lim_{x\to 0} x \sen \frac{1}{x} = 0.$ Problema 3 Demuestra que, si existe $A>0$ tal que $|f(x)/x| \le A$ para todo $x\not=0$, entonces $\displaystyle \lim_{x\to 0} f(x) = 0.$ ( Sugerencia: Utiliza el teorema del sandwich.) Pro...

Fecha de entrega: 23 de septiembre Problema 1 Encuentra mapeos del triángulo fundamental $U = [(0,0), (1,0), (0,1)]$ a cada uno de los siguientes triángulos. $[(0, 1, -3), (2, 1, 5), (-2, 0, 6)]$ $[(-2, 0, 6), (2, 1, 5), (0, 1, -3)]$ $[(2, 7, -1), (-2, 3, 0), (1, 4, 1)]$ $[(1, -3, 2), (2, 1, 1), (0, -7, 5)]$ $[(-1, 2, 3), (0, 3, 4), (2, 5, 6)]$ Problema 2 Evalúa por pullbacks la forma diferencial $\omega = 2 dydz + 3 dzdx - 2 dxdy$ en cada uno de los triángulos anteriores. Problema 3 Muestra que, si los triángulos $T_1, T_2, T_3, T_4$ son las caras de un tetrahedro orientadas hacia afuera, entonces la razón de flujo de un fluido con velocidad constante a través de todas las caras suma cero. ( Sugerencia: Verifícalo primero con las caras del tetrahedro fundamental $U_1 = [(0,0,0), (0,1,0), (1,0,0)]$, $U_2 = [(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)]$, $U_3 = [(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0)]$, $latex U_4 = [(0,0,0), (1,0,0), (0,0,...

A partir del viernes a las 5:30 pm, la universidad estará dando mantenimiento a sus servidores de internet. Aunque esta página se encuentra en un servidor independiente, es posible que el servicio se interrumpa desde el viernes en la tarde hasta el sábado o domingo, para que lo consideren a la hora de trabajar en sus tareas (bájenlas antes).

Fecha de entrega: 12 de septiembre, 10:30 am Resolver los ejercicios 3.9 (p. 34), 3.11 (p. 36), 3.14 y 3.15 (p. 40) del texto de R. S. Irving .

Fecha de entrega: 9 de septiembre Problema 1 Encuentra la velocidad de escape desde la superficie del planeta Marte. Problema 2 Un cohete ha alcanzado una órbita circular alrededor de la Tierra a una distancia de $6{.}6\times 10^6 \text{ m}$ desde su centro, y viaja a una velocidad de $7785 \text{ m/s}$. Queremos moverlo hacia una órbita circular de radio $7{.}0\times 10^6\text{ m}$. Como primer paso, encendemos el cohete hasta alcanzar una rapidez de $v_1$, de tal forma que el cohete tiene ahora una órbita elíptica con apogeo a distancia $7{.}0\times 10^6\text{ m}$. Una vez que se encuentra en el apogeo, volvemos a encender el cohete para incrementar su rapidez en el apogeo, $v_2$, hasta la rapidez necesaria para mantener un órbita circular a esa altura, $7560\text{ m/s}$. Calcula $v_1$ y $v_2$. Problema 3 Evalúa la forma diferencial $4dx - 2dy + 3 dz$ en cada uno de los siguientes segmentos. $latex ( -1, 2, 5) \to ( -3, 3,...

Fecha de entrega: 9 de septiembre Problema 1 Determina si cada una de las siguientes funciones es continua en el punto indicado. Si la función es discontinua, indica si es continua por la derecha o continua por la izquierda. $f(x) = x^3 - 5x +1$; $x_0 = 2$ $f(x) = \sqrt{x^2 + 9}$; $x_0 = 3$ $f(x) = |4 - x^2|$; $x_0 = 2$ $f(x) = \begin{cases} x^2 + 4&x<2\\x^3&x\ge 2\end{cases}$; $x_0 =2$ $f(x) = \begin{cases} x^2 + 4&x<2\\5&x=2\\x^3&x> 2\end{cases}$; $x_0 = 2$ $f(x) = \begin{cases}1-x&x<1\\1&x=1\\x^2-1&x>1\end{cases}$; $x_0 = 1$ $f(x) = \begin{cases}\dfrac{x^2-1}{x+1}&x\not=-1\\-2&x=-1\end{cases}$; $x_0 = -1$ $f(x) = \begin{cases}-x^2&x<0\\1-\sqrt x&x\ge0\end{cases}$; $x_0 = 0$ $f(x) = \begin{cases}\dfrac{x^2-4}{x-2}&x\not=2\\0&x=2\end{cases}$; $x_0 = -2$ $latex f(x) = \dfrac{x(x+1)(x+2...

Los proyectos de tesis de los estudiantes de la Licenciatura en Matemáticas se encuentran publicados en la página del curso: Seminario de tesis 1 .

Fecha de entrega: 5 de septiembre, 10:30 am Resolver los ejercicios 3.5 (p. 33), 3.7 (p. 34) y 3.13 (p. 39) del texto de R. S. Irving .

Fecha de entrega: 2 de septiembre Problema 1 Calcula los siguientes límites, si existen. $\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x}{x+1}$ $\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x^4-1}{x-1}$ $\displaystyle \lim_{x\to 9} \frac{x-3}{\sqrt x -3}$ $\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x-1}}{x}$ $\displaystyle \lim_3 f$, donde $\displaystyle f(x) = \begin{cases} x^2 & x<3\\7 & x=3\\2x+3 & x>3.\end{cases}$ Problema 2 Demuestra, utilizando la definición formal de límite (con $\epsilon$-$\delta$), los siguientes límites. $\displaystyle \lim_{x\to 4} (2x-5) = 3$. $\displaystyle \lim_{x\to 2} |x-2| = 0$. Problema 3 Sea $f$ una función de la cual solo se sabe que, si $0<|x-3|<1$, entonces $|f(x) - 5| < 0{.}1$. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son necesariamente ciertos? Si $|x-3|<1$, entonces $|f(x) - 5| < 0{.}1$. $\lim_3 f = 5$ Si $latex 0<|x-3|<...

Fecha de entrega: 2 de septiembre Problema 1 Demuestra las siguientes propiedades de la derivada de una función vectorial, para funciones $\vec r(t)$ y $\vec s(t)$ diferenciables. $\dfrac{d}{dt}(\vec r + \vec s) = \dfrac{d\vec r}{dt} + \dfrac{d\vec s}{dt}$ $\dfrac{d}{dt}(\vec r \times \vec s) = \dfrac{d\vec r}{dt}\times\vec s + \vec r\times\dfrac{d\vec s}{dt}$ Problema 2 Considera la curva $\vec r(t) = t^2 \vec i - 4t \vec j - t^2\vec k$. Dibuja un bosquejo de la curva, en el intervalo $[0,2]$. Encuentra $\vec v(t)$ y $\vec a(t)$. Encuentra $r(t)$ y $v(t)$. Encuentra el coseno del ángulo entre $\vec r$ y $\vec v$, para cada $t$. ¿Para cuáles $t$ es $\vec r$ perpendicular a $\vec v$? ¿Para cuáles $t$ es $\vec r$ paralelo a $\vec v$? Encuentra el coseno del ángulo entre $\vec v$ y $\vec a$, para cada $t$. ¿Para cuáles $t$ es $latex \vec v...

Fecha de entrega: 29 de agosto, 10:30 am Resolver los ejercicios 2.7 (p. 18) y 3.4 (p. 29) del texto de R. S. Irving .

Fecha de entrega: 26 de agosto Problema 1 Determina si las siguientes funciones son polinomiales, racionales (si no son polinomiales), o ninguna de las dos. $f(x) = 3$ $f(x) = \dfrac{1}{x}$ $f(x) = \dfrac{x^3 - 3x^{1/2} + 2x}{x^2 - 1}$ $f(x) = \sqrt x(\sqrt x + 1)$ $f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{x^2-1}$ Problema 2 Determina el domino de cada una de las siguientes funciones, y haz un bosquejo de su gráfica. Nota si existen rectas asíntotas. $f(x) = 3x - \dfrac{1}{2}$ $f(x) = x^2 - x -6$ $f(x)= \dfrac{1}{x^2 - 4}$ Problema 3 Determina los valores exactos (no utilices aproximaciones decimales) de $x\in[0,2\pi]$ que satisfacen lo siguiente. $\cos x = -\dfrac{1}{2}$ $\sqrt{\sen^2 x} = 1$ $\sen 2x = -\dfrac{\sqrt 3}{2}$ $\tan x = -\sqrt 3$ Problema 4 Dibuja un bosquejo de la gráfica de las siguientes funciones $f(x) = 3 \sen 2x$ $f(x) = \tan \dfrac{1}{2}x$ $latex f(x) = \sq...

Fecha de entrega: 26 de agosto Problema 1 Para cada de los siguientes pares de vectores, calcula su suma, producto punto y producto cruz. Indica cuáles son paralelos y cuáles son ortogonales. $(2, -3, 1), (6, 2, -3)$ $(5, -6, 1), (3, 2, -3)$ $(3, 0, -2), (-6, 0, 4)$ $(-2, 5, 1), (3, 0, 6)$ $(2, -2, -4), (-3, 3, 6)$ Problema 2 Sean $\vec r = (-1, 2, -2)$ y $\vec s = (3, -5, 4)$. Encuentra $|\vec r|, |\vec s|$ y $|\vec r + \vec s|$, y verifica la desigualdad del triángulo. Encuentra $\vec r_s, \vec r_{s\perp}, \vec s_r$ y $\vec s_{r\perp}$. Encuentra el coseno y el seno del ángulo entre $\vec r$ y $\vec s$. Encuentra la ecuación del plano que pasa por el origen generado por los vectores $\vec r$ y $\vec s$. Encuentra la ecuación del plano que pasa por $(3, -1, 2)$ generado por los vectores $\vec r$ y $\vec s$. Problema 3 Considera el plano dado por la ecuación $...

Fecha de entrega: 19 de agosto Problema 1 Resuelva las siguientes desigualdades, y calcula el conjunto solución. $16x+64\le 16$ $3x - 2\le 1 + 6x$ $x(x-1)(x-2)> 0$ $x^2 - 4x + 4 \le 0$ $\dfrac{x}{x-5} \ge \dfrac{1}{4}$ $\dfrac{x^2}{x^2 - 4} < 0$ $x^2(x-2)(x+6) > 0$ $\dfrac{3}{x-2} - \dfrac{5}{x-6} < 0$ $|x| < 2$ $|x-1|<1$ $0<|x|<1$ $0 < \Big|x - \dfrac{1}{2}\Big| < 2$ $|2x+1| < \dfrac{1}{4}$ $|3x+1| > 5$ Problema 2 Encuentra las desigualdades de la forma $|x-c|<\delta$ cuyas soluciones sean los siguientes intervalos. $(0,4)$ $(-3,7)$ $(-4,0)$ $(-7,3)$ $(-1,4)$ Problema 3 Compara $\sqrt{\dfrac{x}{x+1}}$ y $\sqrt{\dfrac{x+1}{x+2}}$ cuando $x\ge 0$. Problema 4 Sean $a,b,c\ge 0$. Muestra que si $a\le b + c$, entonces $latex \displaystyle \frac{a}{1+a} \le \frac{b}{1+...

Fecha de entrega: 19 de agosto Problema 1 Considera la elipse $\displaystyle \dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$. Calcula los puntos límite del diámetro conjugado $QQ'$ para cada uno de los puntos $P$ dados. $P = (3,0)$; $P = (3\sqrt 2/2, \sqrt 2)$; $P = (-2\sqrt 2, 2/3)$; $P = (\sqrt 3, - 2\sqrt 2/\sqrt 3)$. Problema 2 Considera la elipse $\displaystyle \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$, y el punto $P = (a\cos\theta, b\sen\theta)$. Muestra que la pendiente del diámetro conjugado $QQ'$ es igual a $- (b/a) \cot\theta$. Muestra que la pendiente de la tangente a la elipse en $P$ es igual a $-(b/a)\cot\theta$, y concluye la propiedad I de las elipses vista en clase. Considera los puntos $G = (a\cos(\theta+\varphi), b\sen(\theta+\varphi)$ y $G' = (a\cos(\theta - \varphi), b\sen(\theta - \varphi)$. Calcula la pendiente $GG'$, y concluye que es paralela a $late...

Seminario CUICBAS : The NuMI Off-Axis $\nu_e$ Appearance (NOvA) Experiment at Fermilab , por Jonathan Paley, del Laboratorio Nacional Argonne. Viernes, 22 de julio, 4:00pm, auditorio de la Facultad de Ciencias. Abstract: The past 15 years has seen a revolution in our understanding of one of nature's most elusive particle, the neutrino. We now understand that the neutrino changes flavor from one type to another, indicating that they are massive particles. However, there is much we have to learn about the neutrino, in particular whether or not muon-neutrinos oscillate to electron-neutrinos. The primary goal of the NuMI Off-Axis $\nu_e$ Appearance (NOvA) experiment at Fermilab is to extend the search for $\nu_\mu\to\nu_e$ oscillations by approximately an order of magnitude beyond the current upper limit. Secondary goals of the NOvA experiment are to use matter effects and running in both neutrino and anti-neutrino mode to study the mass ordering of the three ne...

Seminario CUICBAS : Álgebras y superálgebras de Lie con una clasificación de superespacio-tiempos de Minkowski «naturales» , por Adolfo Sánchez Valenzuela, CIMAT. Viernes 10 de junio, 4:00pm, Auditorio de la Facultad de Ciencias. Resumen: El propósito de la charla es presentar, de manera elemental y autocontenida, una introducción a las superálgebras de Lie, indicando su relación con las álgebras de Lie y explicando en qué contexto geométrico estas nociones son complementarias una de la otra. Como aplicación, se plantea el problema general de clasificar superálgebras de Lie y se proporciona la clasificación de todas las superálgebras de Lie que tienen por álgebra de Lie subyacente al álgebra de Lie del grupo unitario U(2), explicando su relación con el espacio-tiempo de Minkowski.

Seminario CUICBAS : Análisis y visualización de la red cósmica , por Miguel Ángel Aragón Calvo del Departamento de Física y Astronomía de la Universidad de Johns Hopkins. Martes, 7 de junio, 4:00pm, auditorio de la Facultad de Ciencias. Resumen: Las estructuras delineadas por galaxias a escalas de millones de años luz tienen una geometría muy compleja. La distribución de galaxias en el universo está dominada por grandes regiones vacías delimitadas por paredes, filamentos y nodos donde las galaxias se acumulan. La caracterización de esta red cósmica es una tarea fundamental para entender procesos de formación y evolución galáctica. En esta plática mostraré las técnicas más avanzadas para el análisis y visualización de la red cósmica y su potencial en el estudio de las propiedades de galaxias.

Conferencia de la semana : Principios de simetría aplicados al álgebra, a la geometría y a la física (con una exploración guiada hacia los esquemas de clasificación de las partículas elementales) , por Adolfo Sánchez Valenzuela, del CIMAT. Jueves 9 de junio, 12:00pm, Auditorio de la Facultad de Ciencias. Resumen: Se trata de una introducción sencilla, elemental y autocontenida a algunos principios de simetría que tienen una aplicación directa en diversos conceptos de álgebra, geometría y en las leyes de la física. En particular, se busca explicar de manera sencilla cómo se aplican los principios de simetría a algunos de los problemas que los físicos y los matemáticos enfrentan a la hora de tratar de responder a preguntas como las siguientes: "¿a qué principios responde el ordenamiento de la tabla periódica de los elementos?"; "¿cómo se clasifican las partículas elementales?"

Debido a la defensa de tesis de Haremy Zúñiga, el horario para los exámenes parciales de este viernes 3 de junio se modifican de la siguiente manera: Análisis de varias variables : 10:50 - 11:50 am Álgebra moderna 3 : 2:30 - 3:30 pm

Fecha de entrega: 3 de junio Problema 1. Sea $p$ primo y $n\ge 1$. Muestra que $\displaystyle \Phi_{pn}(x) = \begin{cases}\Phi_n(x^p) & p|n\\\dfrac{\Phi_n(x^p)}{\Phi_n(x)}&p\not|n\end{cases}.$ ( Sugerencia: Verifica que, si $\zeta$ es una raíz $pn$-ésima primitiva de 1, entonces es raíz de los polinomios de la derecha en ambos casos; compara los grados calculando $\varphi(pn)$ en ambos casos.) Problema 2. Si $n\ge 1$ es impar, muestra que $\Phi_{2n}(x) = \Phi_n(-x)$. Problema 3. Sea $p$ primo y $p\not|m$, donde $m\ge 1$. Muestra que $\displaystyle\Phi_p(x^m) = \sum_{i=0}^{p-1}(x^p)^{e_i}x^i$, donde los $e_i$ son exponentes apropiados. ( Sugerencia: Utiliza el algoritmo de la división para ordenar los términos $mi$ de $\Phi_p(x^m)$ apropiadamente.) Muestra que $\displaystyle\Phi_p(x^m)(x-1) = \sum_{i=0}^{p-1}\big((x^p)^{a_i} - (x^p)^{b_i}\big) x^i$, donde los $a_i,b_i$ ...

Fecha de entrega: 27 de mayo Problema 1. Construye campos con 8, 9 y 16 elementos. Problema 2. Sea $\phi$ el mapeo de Frobenius en $\F_{p^n}$. Encuentra el mínimo $m$ tal que $\phi^m$ es la identidad. Problema 3. Muestra que los subcampos de $\F_{p^n}$ son isomorfos a $\F_{p^r}$, donde $r|n$, y que existe un único subcampo para cada tal $r$. Problema 4. Encuentra generadores para el grupo multiplicativo de $\F_n$ para $n = 8, 9, 13, 16, 17.$ Problema 5. Muestra que el grupo aditivo de $\F_{p^n}$ es isomorfo al producto de $n$ grupos $\Z_p\oplus\cdots\oplus\Z_p$.

Fecha de entrega: 27 de mayo, 2011 Problema 1. Muestra que el anillo $\mathbb A = \{(x,y)\in\R^2: 1\le x^2 + y^2\le 2 \}$ es un 2-cubo. Calcula $\partial\mathbb A$. Problema 2. Sea $R$ un rectángulo en $\R^n$, y sea $\mathcal P$ un partición de $R$. Muestra que $\displaystyle \sum_{S\in\mathcal P} \partial S = \partial R.$ Problema 3. Considera la curva $c$ en $A$, y $\mathcal P = \{s_0 = 0 < s_1 < \ldots < s_p = 1\}$ una partición de $[0,1]$. Sea $c_i:[0,1]\to A$, $i=1,\ldots,p$, la curva $c_i(t) = c(s_{i-1} + (s_i - s_{i-1})t),$ y $\tilde c$ el complejo $\tilde c = c_1 + \ldots + c_p.$ Muestra que, para una 1-forma $\w$ en $A$, $\displaystyle \int_{\tilde c} \w = \int_c \w.$ Problema 4. De la proposición 9.19 de las notas , muestra las implicaciones $(1)\Rightarrow(3)\Rightarrow(2).$ Problema 5. Sea $\w = yz dx + xz dy + xy dz$. Calcula $latex \display...

Fecha de entrega: 20 de mayo Problema 1. Sea $F$ un campo vectorial en $\R^n$, y $\curl F$ su rotacional, es decir la $(n-2)$-forma $\curl F = *(d\w_F).$ En el caso $n=3$, el rotacional $\curl F$ es una 1-forma que a su vez puede ser identificada con un campo vectorial, también denotado por $\curl F$. Muestra que $\diver(\curl F) = 0$. Problema 2. Sea $\w = f dx$ una 1-forma en $[0,1]$ tal que $f(0) = f(1)$. Muestra que existe un único $\lambda\in\R$ tal que $\w - \lambda dx = dg$, donde $g$ es una función que satisface $g(0) = g(1)$. Problema 3. Sea $\w = \w_1 dx + \w_2 dy + \w_3 dz$ una 1-forma diferencial en $\R^3$ tal que $\w_1,\w_2,\w_3$ son homogéneas de grado $\alpha$. Muestra que, si $\w$ es cerrada, entonces $\w = df$ donde $f(x,y,z) = \dfrac{1}{\alpha+1}(\w_1(x,y,z)x + \w_2(x,y,z)y + \w_3(x,y,z)z).$ Problema 4. Sea $f:U\to\R^n$ di...

Seminario CUICBAS : El algoritmo de Leverrier-Faddeev y los polinomios ortogonales clásicos , por Javier Hernández, de la Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado, en Venezuela. Viernes, 4:00pm. Resumen: Usando propiedades de los polinomios ortogonales clásicos, implementamos el algoritmo de Leverrier-Faddeev para obtener el polinomio característico de una matriz cuadrada de elementos complejos en función de una base de polinomios ortogonales clásicos. También se implementa un algoritmo para el cálculo de la inversa de una matriz polinomial de orden arbitrario.

Para poder analizar las sumas de Cesàro, de Riesz y, en general, operadores de multiplicación de expansiones de Hermite especiales, tenemos que estudiar dos técnicas que son fundamentales en análisis armónico: integrales singulares y teoría de Littlewood-Paley. En el primer caso, no es suficiente con la teoría estándar de Calderón-Zygmund, sino que, debido a que las expansiones de Hermite especiales corresponden a la convolución torcida, necesitamos estudiar operadores de la forma $\displaystyle Tf(z) = \int_{\C^n} e^{\frac{i}{2}\Im z\cdot\bar w} K(z-w)f(w) dw, \qquad\qquad (1)$ donde el núcleo $K$ satisface hipótesis análogas a las de los núcleos estándar de Calderón-Zygmund, en particular, existe una constante $C>0$ tal que $|K(z)| \le C |z|^{-2n} \qquad \text{y} \qquad |\nabla K(z)| \le C |z|^{-2n-1}.$ La integral que define a $Tf$ se entiende como un límite de valor principal. Operadores de la forma (1) han sido estudiados extensamente (por ejemplo,...

Fecha de entrega: 13 de mayo Problema 1. Enlista los enteros $n\le 100$ construibles. Problema 2. Muestra que los únicos enteros $n$ impares que se sabe que son construibles son precisamente los divisores de $2^{32}-1 = 4294967295.$ Problema 3. Utiliza el hecho $641 = 5^4 + 2^4 = 5\times 2^7 + 1$ para mostrar que 641 divide a $F_5$. Problema 4. Muestra que $F_{n+1} = 2 + F_n F_{n-1}\cdots F_0$ y deduce que, si $m\not= n$, entonces $F_n$ y $F_m$ son primos relativos. Problema 5. Se sabe que $F_{382449}$ es compuesto. ¿Cuántos dígitos tiene, aproximadamente, este número?

Fecha de entrega: 13 de mayo Problema 1. Sea $f:\R^n\to\R$ diferenciable. Muestra que, si $\grad f(p) \not= 0$, entonces $\grad f(p)$ es el vector con la dirección de crecimiento más rápido de $f$ en el punto $p$. Es decir, si $\hat u = \dfrac{\grad f(p)}{|\grad f(p)|}$, entonces $Df(p)(\hat u) = \max\{ Df(p)(v) : |v| = 1\}.$ ( Sugerencia: Nota que $(\grad f(p))\cdot v_p = Df(p)(v)$, para $v_p\in\R^n_p$.) Problema 2. Calcula la estrella de Hodge $*\omega$ para cada una de las siguientes formas en $\R^4$. Calcula además $d(*\omega)$ y $*d\omega$. $\omega = (x^2 + x^3 + x^4)^2 dx^1$; $\omega = x^3x^4 dx^1\wedge dx^2 - x^1x^2 dx^3\wedge dx^4$. Problema 3. Muestra que $**\w = (-1)^{k(n-k)}\w$. Problema 4. Sea $F$ un campo vectorial en $\R^n$, y $\diver F$ su divergencia, es decir $(\diver F)dx^1\wedge\ldots\wedge dx^n = d(*\w_F),$ donde $\w\mapsto*\w$ es l...

Fecha de entrega: 6 de mayo de 2011 Problema 1. Si $K$ es un campo contable y $L:K$ es finitamente generada, muestra que $L$ es contable. Concluye que las extensiones $\R:\Q$ y $\C:\Q$ no son finitamente generadas. Problema 2. Calcula el grado de trascendencia de las siguientes extensiones. $\Q(t,u,v,w):\Q$, donde $t^2 = 2$, $u$ es trascendente sobre $\Q(t)$, $v^3 = t + 5$ y $w$ es trascendente sobre $\Q(t,u,v)$. $\Q(t,u,v,w):\Q$, donde $t^2 = u^3 = v^4 = 7$ y $w$ es trascendente sobre $\Q(t,u,v)$. Problema 3. Sean $K\subset L\subset M$ y $M:K$ y $L:K$ finitamente generadas. Muestra que $M:K$ y $L:K$ tienen el mismo grado de trascendencia si y solo si $M:L$ es finita. Problema 4. Sea $\chi(K) = 0$, y sea $L:K$ normal y finita con grupo de Galois $G=\{g_1,\ldots,g_n\}.$ Define la traza de $a\in L$ como $latex T(a) = g_1(a) +...