Tarea 9, Cálculo 3

Fecha de entrega: 21 de octubre

Problema 1

Para la función

$latex \displaystyle f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{x^2y}{x^4 + y^2} & (x,y)\not=(0,0)\\0& x=y=0,\end{cases}$

muestra que no existe un número $latex L$ y un $latex \delta=0$ tal que $latex |(x,y)|<\delta$ implica $latex |f(x,y) - L|<1/4$.

Problema 2

Demuestra que $latex \displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2} = 0$ mostrando explícitamente que, dado $latex \e>0$, es posible encontrar $latex \delta>0$ tal que $latex \sqrt{(x-1)^2 + y^2} < \delta$ implica

$latex \Big| \dfrac{xy}{x^2 + y^2} \Big| < \e.$

Utiliza los siguientes pasos:

1. Muestra que si $latex |(x,y) - (1,0)| < \delta$, entonces $latex -\delta < y < \delta$ y $latex 1- \delta < x < 1 +\delta$.


2. De las desigualdades anteriores, muestra que si $latex 0 < \delta < 1$ entonces $latex \Big| \dfrac{xy}{x^2 + y^2} \Big| < \dfrac{\delta(1+\delta)}{(1-\delta)^2}$.


3. Utiliza el paso anterior para encontrar $latex \delta$ en función de $latex \e$.

Problema 3

Muestra que si los límites iterados existen y son distintos, o sea

$latex \displaystyle \lim_{x\to0} \big( \lim_{y\to0} f(x,y) \big) \not= \lim_{y\to0} \big( \lim_{x\to0} f(x,y) \big),$

entonces $latex f$ no tiene límite en $latex (0,0)$.

Problema 4

Describe las superficies de nivel en $latex c = 0, 1, 4, 9$ para cada una de las siguientes funciones.

1. $latex f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$


2. $latex f(x,y,z) = x^2 + y^2 - z$


3. $latex f(x,y,z) = \dfrac{z}{x^2 + y^2}$

Problema 5

Sea, para $latex (x,y)\not=(0,0)$,

$latex f(x,y) = \dfrac{\sen (x^2 + y^2)}{x^2 + y^2}.$

Define $latex f(0,0)$ de tal manera que la función sea continua en $latex (0,0)$.

Problema 6

Sea $latex f(x,y) = x^3 y - x y^2$. Encuentra $latex D_{\vec u}f(\vec x_0)$ para

1. $latex \vec x_0 = (0, 0), \vec u = (1, 0)$


2. $latex \vec x_0 = (2, 1), \vec u = (1/\sqrt 2, 1/\sqrt 2)$


3. $latex \vec x_0 = (-2, 1), \vec u = (3/5, -4/5)$


4. $latex \vec x_0 = (3, -4), \vec u = (-1/2, \sqrt 3/2)$

Problema 7

Sea $latex f(x, y, z) = x y^2 - x z^2$. Encuentra $latex D_{\vec u}f(\vec x_0)$ para

1. $latex \vec x_0 = (1, 1, 1), \vec u = (0, 1, 0)$


2. $latex \vec x_0 = (2, -1, 3), \vec u = (-1/3, 2/3, -2/3)$


3. $latex \vec x_0 = (-1, 2, -1), \vec u = (4/5, 0, -3/5)$

Problema 8

Considera la función

$latex f(x,y) = \begin{cases} (x^2 +y^2) \sen \dfrac{1}{x^2 + y^2} & (x,y)\not=(0,0)\\0& x = y = 0.\end{cases}$

1. Muestra que las derivadas parciales de $latex f$ con respecto a $latex x$ y con respecto a $latex y$ existen y son iguales a cero en $latex (0,0)$.


2. Sin embargo, muestra que estas derivadas parciales no son continuas en $latex (0,0)$


3. Muestra que $latex f$ es diferenciable en $latex (0,0)$, con derivada $latex L = 0$. Es decir, verifica que, si $latex f(x,y) - f(0,0) = 0 + |(x,y)|E(f,(0,0),(x,y))$, entonces $latex \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} E(f,(0,0),(x,y)) = 0$.