Tarea 14, Varias variables

Fecha de entrega: 20 de mayo

Problema 1. Sea $latex F$ un campo vectorial en $latex \R^n$, y $latex \curl F$ su rotacional, es decir la $latex (n-2)$-forma $latex \curl F = *(d\w_F).$ En el caso $latex n=3$, el rotacional $latex \curl F$ es una 1-forma que a su vez puede ser identificada con un campo vectorial, también denotado por $latex \curl F$. Muestra que $latex \diver(\curl F) = 0$.

Problema 2. Sea $latex \w = f dx$ una 1-forma en $latex [0,1]$ tal que $latex f(0) = f(1)$. Muestra que existe un único $latex \lambda\in\R$ tal que $latex \w - \lambda dx = dg$, donde $latex g$ es una función que satisface $latex g(0) = g(1)$.

Problema 3. Sea $latex \w = \w_1 dx + \w_2 dy + \w_3 dz$ una 1-forma diferencial en $latex \R^3$ tal que $latex \w_1,\w_2,\w_3$ son homogéneas de grado $latex \alpha$. Muestra que, si $latex \w$ es cerrada, entonces $latex \w = df$ donde

$latex f(x,y,z) = \dfrac{1}{\alpha+1}(\w_1(x,y,z)x + \w_2(x,y,z)y + \w_3(x,y,z)z).$

Problema 4. Sea $latex f:U\to\R^n$ diferenciable con inversa $latex f^{-1}:f(U)\to\R^n$ diferenciable. Muestra que si toda forma cerrada en $latex U$ es exacta, entonces toda forma cerrada en $latex f(U)$ es exacta. (Sugerencia: Considera $latex f^*$.)

Problema 5. Sean $latex F,G:\R\times\R^n\to\R$ funciones diferenciables, donde consideramos la primer variable como parámetro. Muestra que

$latex \displaystyle \frac{d}{dt}(dF_t\wedge dG_t) = \Big( \frac{d}{dt}dF_t \Big) \wedge dG_t + dF_t \wedge \Big( \frac{d}{dt}dG_t \Big).$