Tarea 13, Varias variables

Fecha de entrega: 13 de mayo

Problema 1. Sea $latex f:\R^n\to\R$ diferenciable. Muestra que, si $latex \grad f(p) \not= 0$, entonces $latex \grad f(p)$ es el vector con la dirección de crecimiento más rápido de $latex f$ en el punto $latex p$. Es decir, si $latex \hat u = \dfrac{\grad f(p)}{|\grad f(p)|}$, entonces

$latex Df(p)(\hat u) = \max\{ Df(p)(v) : |v| = 1\}.$

(Sugerencia: Nota que $latex (\grad f(p))\cdot v_p = Df(p)(v)$, para $latex v_p\in\R^n_p$.)

Problema 2. Calcula la estrella de Hodge $latex *\omega$ para cada una de las siguientes formas en $latex \R^4$. Calcula además $latex d(*\omega)$ y $latex *d\omega$.

1. $latex \omega = (x^2 + x^3 + x^4)^2 dx^1$;


2. $latex \omega = x^3x^4 dx^1\wedge dx^2 - x^1x^2 dx^3\wedge dx^4$.

Problema 3. Muestra que $latex **\w = (-1)^{k(n-k)}\w$.



Problema 4. Sea $latex F$ un campo vectorial en $latex \R^n$, y $latex \diver F$ su divergencia, es decir

$latex (\diver F)dx^1\wedge\ldots\wedge dx^n = d(*\w_F),$

donde $latex \w\mapsto*\w$ es la operación estrella de Hodge y $latex \w_F$ es la 1-forma inducida por $latex F$ vía el isomorfismo natural $latex \R^n_p\to(\R^n_p)^*$. Muestra que

$latex \diver F = \sum_{j=1}^n D_jF^j.$

Problema 5. Para $latex F$ un campo vectorial en $latex \R^n$, su rotacional es la $latex (n-2)$-forma $latex \curl F$ dada por

$latex \curl F = *(d\w_F).$

Muestra que $latex \curl (\grad f) = 0$ para cualquier función $latex f:\R^n\to\R$ de clase $latex C^2$.