Tarea 15, Cálculo 1

Fecha de entrega: 2 de diciembre

Problema 1

Dibuja la región limitada por las curvas dadas, y utiliza el método de las capas para calcular el volumen del sólido de revolución generado al girar la región alrededor del eje $latex y$.

1. $latex y = x, y = 0, x = 1$


2. $latex y = \sqrt x, x = 4, y = 0$


3. $latex y = \sqrt x, y = x^3$


4. $latex y = x, y = 2x, y = 4$


5. $latex x = y^2, x = y + 2$


6. $latex x = \sqrt{9 - y^2}, x = 0$

Problema 2

Dibuja la región limitada por las curvas dadas, encuentra su centro de masa, y utiliza el teorema de Pappus para calcular el volumen de los sólidos de revolución obtenidos al girar la región alrededor de ambos ejes.

1. $latex y = x^3, y = 0, x = 2$


2. $latex y = x^3, y = \sqrt x$


3. $latex y = 3x, y = 6, x = 1$


4. $latex y = x^2 + 1, y = 1, x = 3$


5. $latex y = \sqrt{1 - x^2}, x + y =1$


6. $latex y = x^{1/3}, y = 1, x = 8$

Problema 3

1. Encuentra el volumen del cono de helado formado por un cono recto, de semiángulo $latex \theta$ e hipotenusa $latex R$, y una semiesfera, como en la figura.
   


2. Calcula la coordenada $latex x$ del centro de masa de la región mostrada en la figura (la curva superior es un cuarto de círculo).
   

Problema 4

Encuentra el trabajo realizado por la fuerza $latex F$ bajo la cual un objeto se mueve sobre el eje $latex x$ desde el punto $latex a$ al punto $latex b$.

1. $latex F(x) = x(x^2 + 1)^2;\quad a = 1, b = 4$


2. $latex F(x) = x\sqrt{x^2 + 7};\quad a = 0, b = 3$


3. $latex F(x) = x + \sen 2x; \quad a = \pi/6, b = \pi$

Problema 5

Para alargar un resorte desde 1m hasta 3 m más allá de su longitud natural se requiere un trabajo de 5 J. ¿Cuánto se alargará el resorte, respecto a su longitud normal, un peso de 6 N?

Problema 6

Cierto resorte tiene una longitud natural igual a $latex L$ metros. Si $latex W$ es el trabajo realizado al estirar el resorte desde $latex L$ hasta $latex L+a$ metros, encuentra el trabajo realizado al estirar el resorte

1. desde $latex L$ hasta $latex L + 2a$ metros;


2. desde $latex L$ hasta $latex L + na$ metros;


3. desde $latex L + a$ hasta $latex L + 2a$ metros;


4. desde $latex L + a$ hasta $latex L + na$ metros.

Problema 7

La presa de un río tiene la forma de un trapecio isósceles de 100 m en la superficie del río y 60 m en el fondo. Si el río tiene 20 m de profundidad, ¿cuál es la fuerza del agua sobre la presa?