Tarea 1, Cálculo 1

Fecha de entrega: 19 de agosto

Problema 1

Resuelva las siguientes desigualdades, y calcula el conjunto solución.

1. $latex 16x+64\le 16$


2. $latex 3x - 2\le 1 + 6x$


3. $latex x(x-1)(x-2)> 0$


4. $latex x^2 - 4x + 4 \le 0$


5. $latex \dfrac{x}{x-5} \ge \dfrac{1}{4}$


6. $latex \dfrac{x^2}{x^2 - 4} < 0$


7. $latex x^2(x-2)(x+6) > 0$


8. $latex \dfrac{3}{x-2} - \dfrac{5}{x-6} < 0$


9. $latex |x| < 2$


10. $latex |x-1|<1$


11. $latex 0<|x|<1$


12. $latex 0 < \Big|x - \dfrac{1}{2}\Big| < 2$


13. $latex |2x+1| < \dfrac{1}{4}$


14. $latex |3x+1| > 5$

Problema 2

Encuentra las desigualdades de la forma $latex |x-c|<\delta$ cuyas soluciones sean los siguientes intervalos.

1. $latex (0,4)$


2. $latex (-3,7)$


3. $latex (-4,0)$


4. $latex (-7,3)$


5. $latex (-1,4)$

Problema 3

Compara $latex \sqrt{\dfrac{x}{x+1}}$ y $latex \sqrt{\dfrac{x+1}{x+2}}$ cuando $latex x\ge 0$.

Problema 4

Sean $latex a,b,c\ge 0$. Muestra que si $latex a\le b + c$, entonces

$latex \displaystyle \frac{a}{1+a} \le \frac{b}{1+b} + \frac{c}{1+c}$.

---

Lee la sección 1.4 del libro de texto, que ofrece un repaso de geometría analítica, para resolver los siguientes problemas.

Problema 5

Encuentra la distancia, el punto medio y la ecuación de la recta que pasa por lo siguientes pares de puntos.

1. $latex P_1(0,5), P_2(6,-3)$


2. $latex P_1(\sqrt 3, 0), P_2(0, \sqrt 3)$


3. $latex P_1(4, -1), P_2(-3, -1)$

Problema 6

Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto $latex P(2,7)$ y es

1. paralela al eje $latex x$


2. paralela a la recta $latex 3y - 2x + 6 = 0$


3. perpendicular a la recta $latex y - 2x +5 = 0$

Problema 7

Encuentra el punto de intersección de los siguientes pares de rectas.

1. $latex \ell_1: 4x - y - 3 = 0; \ell_2: 3x - 4y + 1 = 0$


2. $latex \ell_1: 5x - 6y + 1 = 0; \ell_2: 8x + 5y + 2 = 0$

Problema 8

Encuentra el área del triángulo cuyos vértices se encuentran en los puntos $latex (1, -2), (-1, 3), (2,4)$.

---

Problema 9

Calcula $latex f(0), f(1), f(3/2), f(-x)$ y $latex f(1/x)$ para cada una de las siguientes funciones.

1. $latex f(x) = 2x^2 - 3x + 2$


2. $latex f(x) = \sqrt{x^2 + 2x}$


3. $latex f(x) = \dfrac{2x}{|x+2|+x^2}$


4. $latex f(x) = x^2 - 2x$


5. $latex f(x) = \sqrt{1+x^2}$

Problema 10

Encuentra el dominio y la imagen de cada una de las siguientes funciones. Dibuja además un bosquejo de su gráfica.

1. $latex f(x) = x^2 - 1$


2. $latex f(x) = \sqrt{1-x}$


3. $latex f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{4 - x^2}}$


4. $latex f(x) = \frac{1}{2}x + 2$


5. $latex f(x) = |x - 1|$

Problema 11

Determina si las siguientes funciones pares o impares (o ninguna).

1. $latex f(x) = x^3$


2. $latex f(x) = x(x^2 + 1)$


3. $latex f(x) = \dfrac{x^2}{1 - |x|}$


4. $latex f(x) = x + \dfrac{1}{x}$

Problema 12

Expresa el área del rectángulo de la figura en función de la coordenada $latex x$ del punto $latex P(x,y)$.