Integrales singulares oscilatorias

Para poder analizar las sumas de Cesàro, de Riesz y, en general, operadores de multiplicación de expansiones de Hermite especiales, tenemos que estudiar dos técnicas que son fundamentales en análisis armónico: integrales singulares y teoría de Littlewood-Paley. En el primer caso, no es suficiente con la teoría estándar de Calderón-Zygmund, sino que, debido a que las expansiones de Hermite especiales corresponden a la convolución torcida, necesitamos estudiar operadores de la forma

$latex \displaystyle Tf(z) = \int_{\C^n} e^{\frac{i}{2}\Im z\cdot\bar w} K(z-w)f(w) dw, \qquad\qquad (1)$

donde el núcleo $latex K$ satisface hipótesis análogas a las de los núcleos estándar de Calderón-Zygmund, en particular, existe una constante $latex C>0$ tal que

$latex |K(z)| \le C |z|^{-2n} \qquad \text{y} \qquad |\nabla K(z)| \le C |z|^{-2n-1}.$

La integral que define a $latex Tf$ se entiende como un límite de valor principal. Operadores de la forma (1) han sido estudiados extensamente (por ejemplo, en [1]) cuando el término oscilatorio es de la forma $latex e^{\Phi(z,w)}$ para una función apropiada  $latex \Phi$. En [1], Ricci y Stein consideran el caso en que $latex \Phi$ es un polinomio, y muestran que la cota del operador es, de hecho, independiente de los coeficientes de $latex \Phi$, y solo depende de su grado y de las estimaciones para $latex K$.

En [2], Thangavelu muestra el siguiente teorema.

Teorema. Si $latex T$ es acotado en $latex L^2(\C^n)$, entonces es acotado en $latex L^p(\C^n)$, para $latex 1 < p <\infty$.

Reproducimos aquí la demostración, incluyendo algunos detalles que no están incluidos en [2].

La idea de la demostración es descomponer el operador en escalas: Empezamos por tomar una función $latex \alpha\in C^\infty_0(\C^n)$ de corte tal que $latex \alpha(z) = 1$ si $latex |z|\le 3/4$ y $latex \alpha(z)=0$ si $latex |z| < 1.$ Si definimos $latex K_0 = \alpha K$ y $latex K_\infty = K - K_0,$ entonces

$latex Tf = T_0f + T_\infty f,$

donde $latex T_0f = K_0\times f$ y $latex T_\infty f = K_\infty\times f$, y $latex \cdot\times\cdot$ denota la convolución torcida. De esta forma, $latex T_0$ se refiere a la singularidad en cero de $latex K$, mientras que $latex T_\infty$ a la singularidad en infinito. Es suficiente entonces con analizar cada uno de los operadores $latex T_0$ y $latex T_\infty$ por separado.

Empezamos por demostrar que $latex T_0$ es acotado en $latex L^p$. Esto lo haremos en varios pasos.

Paso 1. $latex T_0$ es acotado en $latex L^2(\C^n)$.

Demostración: Sea $latex f\in L^2$ y $latex \zeta\in\C^n$. Es suficiente con mostrar que existe una constante $latex C>0$, independiente de $latex \zeta$, tal que

$latex \displaystyle \int_{|z-\zeta|\le 1/4} |T_0f(z)|^2 dz \le C \int_{|w-\zeta|\le 5/4} |f(w)|^2 dw. \qquad\qquad (2)$

Observamos primero por qué (2) es suficiente: Integrando con respecto a $latex \zeta$ obtenemos

$latex \displaystyle \int_{\C^n}\int_{|z-\zeta|\le 1/4} |T_0f(z)|^2 dzd\zeta \le C \int_{\C^n}\int_{|w-\zeta|\le 5/4} |f(w)|^2 dwd\zeta.$

El lado izquierdo de esta ecuación es igual a

$latex \displaystyle \int_{\C^n}\int_{|z-\zeta|\le 1/4} |T_0f(z)|^2 dzd\zeta = \int_{|z|\le 1/4} \int_{\C^n}|T_0f(z+\zeta)|^2 dzd\zeta$

$latex = c ||T_0f||_{L^2}^2,$

donde hemos usado el teorema de Fubini después de la traslación $latex z\to z+\zeta$, y $latex c = \int_{|z|\le 1/4} dz$. Similarmente, el lado de la ecuación anterior es igual $latex c' ||f||_{L^2}^2,$ por lo que obtenemos

$latex ||T_0f||_{L^2} \le C' ||f||_{L^2}^2,$

lo que queremos mostrar. Para verificar (2), escribimos $latex f = f_1 + f_2 + f_3,$ donde

$latex f_1 = f\chi_{\{|w-\zeta|\le 1/2\}} \qquad\text{y}\qquad f_2 = f \chi_{\{1/2<|w-\zeta|\le 5/4\}}.$

Si $latex |z-\zeta|\le 1/4$ y $latex |w-\zeta|\le 1/2$, entonces $latex |w-z|\le 3/4$ y

$latex \displaystyle T_0f_1(z) = \int_{\C^n} e^{\frac{i}{2}\Im z\cdot\bar w} K_0(z-w)f_1(w) dw$

$latex \displaystyle = \int_{\C^n} e^{\frac{i}{2}\Im z\cdot\bar w} K(z-w)f_1(w) dw,$

porque $latex K_0(z) = K(z)$ si $latex |z|\le 3/4$. Así que $latex T_0f(z) = Tf_1(z)$, y entonces, como $latex T$ es acotado en $latex L^2$,

$latex \displaystyle \int_{|z-\zeta|\le 1/4} |T_0f_1(z)|^2 dz \le ||Tf_1||_{L^2}^2 \le C ||f_1||_{L^2}^2$

$latex \displaystyle = C\int_{\{|w-\zeta|\le 1/2\}} |f(w)|^2 dw.$

Ahora, si $latex |z-\zeta|\le 1/4$ y $latex 1/2 < |w-\zeta|\le 5/4$, entonces $latex 1/4 < |z - w| \le 3/2.$ Como $latex K(z)$ es integrable en el conjunto $latex \{1/4<|z|\le 3/2\}$, entonces $latex (z,w)\to e^{\frac{i}{2}\Im z\cdot\bar w} K_0(z-w)$ es integrable en el dominio de integración deseado y por lo tanto

$latex \displaystyle \int_{|z-\zeta|\le 1/4} |T_0f_1(z)|^2 dz \le C ||f_2||_{L^2}^2 = C \int_{\{1/2<|w-\zeta|\le 5/4 \}} |f(w)|^2 dw.$

Finalmente, observamos que si $latex |z-\zeta|\le 1/4$ y $latex |w-\zeta|> 5/4$, entonces $latex |z-w|>1$ y $latex K_0(z-w) = 0$, por lo que $latex T_0f_3(z) = 0$. La combinación de las desigualdades anteriores nos da (2). $latex \Box$

Paso 2. El operador $latex \tilde T_0$ definido por

$latex \displaystyle \tilde T_0 f(z) = \int_{\C^n} K_0(z-w) f(w) dw$

es acotado en $latex L^p(\C^n)$, para $latex 1 < p <\infty$.

Demostración: Observamos que $latex \tilde T_0$ es la parte no oscilatoria (estacionaria) de $latex T_0$. Más aún, como es un operador de Calderón-Zygmund, entonces solo tenemos que mostrar que está acotado en $latex L^2(\C^n).$ Como antes, mostraremos que existe $latex C>0$ tal que, para $latex f\in L^2$ y $latex \zeta\in\C^n$,

$latex \displaystyle \int_{|z-\zeta|\le 1} |\tilde T_0 f(z)|^2 dz \le C \int_{|w-\zeta|\le 2} |f(w)|^2 dw.\quad\quad (3)$

Mostramos primero el caso $latex \zeta = 0$. Escribimos $latex f = f_1 + f_2$, donde $latex f_1 = f \chi_{\{|w|\le 2\}},$ y

$latex \displaystyle \tilde T_0 f_1(z) = T_0 f_1(z) + \int_{\C^n} \tilde K(z,w) f_1(w) dw,$

donde $latex \tilde K(z,w) = (1 - e^{\frac{i}{2}\Im z\cdot\bar w})K_0(z-w).$ Si $latex |z|\le 1$ y $latex |w|\le 2$, entonces

$latex |1 - e^{\frac{i}{2}\Im z\cdot\bar w}| = |e^{\frac{i}{2}\Im w\cdot\bar w} - e^{\frac{i}{2}\Im z\cdot\bar w}| \le C |z-w|,$

y entonces

$latex |\tilde K(z,w)| \le C |z-w|^{-2n+1},$

por lo que es integrable en el dominio requerido ($latex |z-w|\le 1$). Entonces

$latex \displaystyle \int_{|z|\le 1}\Big|\int_{\C^n} \tilde K(z,w) f_1(w) dw\Big|^2 dz \le C ||f_1||_{L^2}^2 = C \int_{|w|\le 2} |f_1(w)|^2dw.$

Como $latex T_0$ es acotado en $latex L^2$, por el paso 1, entonces obtenemos

$latex \displaystyle \int_{|z|\le 1} |\tilde T_0 f_1(z)|^2 dz \le C \int_{|w|\le 2} |f(w)|^2 dw.$

Ahora bien, si $latex |z|\le 1$ y $latex |w|>2$, entonces $latex |z-w|>1$ y por lo tanto $latex K_0(z-w) = 0$. Así que $latex \tilde T_0 f_2(z) = 0$. Por lo tanto, obtenemos (3) para $latex \zeta = 0$.

En el caso general, observamos que

$latex \displaystyle \tilde T_0 f(z + \zeta) = \int_{\C^n} K_0(z + \zeta - w) f(w) dw = \int_{\C^n} K_0(z-w) F(w) dw,$

donde $latex F(w) = f(w + \zeta)$. Entonces $latex \tilde T_0 f(z + \zeta) = \tilde T_0 F(z)$ y

$latex \displaystyle \int_{|z-\zeta|\le 1} |\tilde T_0 f(z)|^2 dz = \int_{|z|\le 1} |\tilde T_0 F(z)|^2 dz$

$latex \displaystyle \le C\int_{|w|\le 2} |F(w)|^2 dw = C \int_{|w-\zeta|\le 2} |f(w)|^2 dw.$

Hemos entonces probado (3). $latex \Box$

Paso 3. $latex T_0$ es acotado en $latex L^p$.

Demostración: Como en el paso 2, es suficiente con demostrar la desigualdad

$latex \displaystyle \int_{|z|\le 1} |T_0f(z+\zeta)|^p dz \le C \int_{|w|\le 2} |f(w+\zeta)|^p dw, \qquad\qquad (4)$

para $latex f\in L^p$ y $latex \zeta\in \C^n$. Observamos primero que

$latex \Im(z+\zeta)\cdot(\overline{w+\zeta}) = \Im z\cdot\bar w + \Im z\cdot\bar\zeta + \Im\zeta\cdot\bar w,$

por lo que entonces

$latex \displaystyle T_0 f(z+\zeta) = \int_{\C^n} e^{\frac{i}{2}\Im (z+\zeta)\cdot\bar w} K_0(z+\zeta-w)f(w) dw$

$latex \displaystyle = e^{\frac{i}{2}\Im z\cdot\bar\zeta} \int_{\C^n} e^{\frac{i}{2}\Im z\cdot\bar w} K_0(z-w) e^{\frac{i}{2}\Im\zeta\cdot\bar w}f(w+\zeta)dw = e^{\frac{i}{2}\Im z\cdot\bar\zeta} T_0 F(z),$

donde $latex F(w) = e^{\frac{i}{2}\Im\zeta\cdot\bar w}f(w+\zeta)$. Podemos escribir

$latex \displaystyle T_0 F(z) = \tilde T_0 F(z) + \int_{\C^n} \tilde K(z,w) F(w) dw,$

donde $latex \tilde K(z,w) = (e^{\frac{i}{2}\Im z\cdot\bar w} - 1)K_0(z-w)$. Por el paso 2, $latex \tilde T_0$ es acotado en $latex L^p$, mientras que, al igual que en la demostración del paso 2, $latex \tilde K(z,w)$ es acotado en $latex |z|\le 1$ y $latex |w|\le 2$. Por lo tanto, obtenemos la desigualdad (4) de la misma forma que (3). $latex \Box$

Para estimar el operador $latex T_\infty$, tomamos una función $latex \psi\in C_0^\infty (\C^n)$ con soporte en $latex \{1/2\le |z|\le 2\}$ tal que $latex \psi(z) = 1$ si $latex 3/4\le |z|\le 5/4$ y

$latex \displaystyle \sum_{j=-\infty}^\infty \psi(2^{-j}z) = 1.$

Si tomamos $latex K_j(z) = K_\infty \psi(2^{-j}z)$, entonces $latex \displaystyle K_\infty(z) = \sum_{j=-\infty}^\infty K_j(z),$ donde cada $latex K_j$ tiene soporte en el conjunto $latex \{2^{j-1}\le |z| \le 2^{j+1}\}$ y satisface $latex |K_j(z)|\le C|z|^{-2n}.$

Más aún, como $latex K_\infty(z) = 0$ si $latex |z|\le 3/4$, entonces $latex K_j = 0$ para $latex j<0$ (notamos que $latex \psi(2z) = 0$ para $latex |z|>3/4$ porque $latex \psi(z) = 1$ si $latex 3/4\le |z|\le 5/4$, y su suma debe ser igual a 1).

Sea entonces $latex T_j = K_j\times f$, y $latex T_j^*$ la adjunta del operador $latex T_j$ actuando en $latex L^2$.

Paso 4. El operador $latex T_j^*T_j$ es acotado en $latex L^2$ y su norma satisface $latex ||T_j^*T_j|| \le C 2^{-2nj}$.

Demostración: En la demostración de este paso, haremos uso de la estimación en $latex L^2$ para la convolución torcida

$latex ||f\times g||_{L^2} \le C ||f||_{L^2} ||g||_{L^2}.$

Si $latex K_j^*$ es el núcleo de $latex T_j^*$, entonces

$latex K_j^*(z,w) = e^{\frac{i}{2}\Im z\cdot\bar w} \bar K_j(w - z).$

Así que el núcleo $latex L_j$ de $latex T_j^*T_j$ está dado por

$latex \displaystyle L_j(z,w) = \int_{\C^n} K_j^*(z,\zeta) e^{\frac{i}{2}\Im \zeta\cdot\bar w}K_j(\zeta,w) d\zeta$

$latex \displaystyle = \int_{\C^n} e^{\frac{i}{2}\Im z\cdot\bar \zeta} \bar K_j(\zeta - z) e^{\frac{i}{2}\Im \zeta\cdot\bar w}K_j(\zeta,w) d\zeta$

$latex \displaystyle = e^{\frac{i}{2}\Im z\cdot\bar w} \int_{\C^n} \bar K_j(\zeta) K_j(\zeta + z - w) e^{\frac{i}{2}\Im (z-w)\cdot\bar \zeta} d\zeta$

$latex \displaystyle = e^{\frac{i}{2}\Im z\cdot\bar w} \bar K_j\times K_j (z-w),$

por lo que $latex T_j^*T_j f = M_j\times f$, donde $latex M_j = \bar K_j\times K_j$.

Ahora bien,

$latex \displaystyle \int_{\C^n} |K_j(z)|^2 dz \le C\int_{2^{j-1}\le |z|\le 2^{j+1}} |z|^{-4n} dz \le C 2^{-2nj},$

así que tenemos $latex ||M_j||_{L^2} \le C ||\bar K_j\times K_j||_{L^2} = C ||K_j||_{L^2}^2 \le C 2^{-2nj}$ y, por lo tanto,

$latex ||T_j^*T_j f||_{L^2} \le C ||M_j||_{L^2} ||f||_{L^2} \le C 2^{-2nj}||f||_{L^2}.$

$latex \Box$

Paso 5. El operador $latex T_j$ es acotado en $latex L^p$, con norma $latex ||T_j||_{L^p\to L^p} \le C 2^{-\e j}$, para algún $latex \e>0$ independiente de $latex j$ (aunque dependiente de $latex p$).

Demostración: Observamos que los núcleos $latex K_j$ son uniformemente integrables, ya que

$latex \displaystyle \int_{\C^n} |K_j(z)| dz \le C\int_{2^{j-1}\le |z|\le 2^{j+1}} |z|^{-2n} dz \le C.$

Entonces cada $latex T_j$ es acotado en $latex L^1$ y su norma satisface

$latex ||T_j||_{L^1\to L^1} \le C$.

Por el paso 4,

$latex ||T_j||_{L^2\to L^2} \le C 2^{-nj},$

así que por interpolación obtenemos, para cualquier $latex 1 < p < 2$,

$latex ||T_j||_{L^p\to L^p} \le C 2^{-\e_p j},$

donde $latex \e_p = n\theta$, si $latex 0\le \theta\le 1$ es tal que

$latex \displaystyle \frac{1}{p} = \frac{1 - \theta}{1} + \frac{\theta}{2} = 1 - \frac{\theta}{2},$

o sea $latex \e_p = 2n - 2n/p$.

Observamos que lo operadores adjuntos $latex T_j^*$ también satisfacen $latex ||T_j^*||_{L^p\to L^p} \le C 2^{-\e_p j}$ para cualquier $latex 1 < p < 2$, por lo que, por dualidad, si $latex p>2$ entonces

$latex ||T_j||_{L^p\to L^p} \le C 2^{-\e_{p'} j},$

donde $latex p'$ es el exponente conjugado de $latex p$. $latex \Box$

Paso 6 (y final). $latex T_\infty$ es acotado en $latex L^p$.

Demostración: Observamos que $latex \displaystyle T_\infty = \sum_{j=0}^\infty T_j.$ Ahora bien, por el paso 5, tenemos

$latex \displaystyle \sum_{j=0}^\infty ||T_j||_{L^p\to L^p} \le C \sum_{j=0}^\infty 2^{-\e_p j} < \infty,$

por lo que entonces la serie $latex \sum_{j=0}^\infty T_j$ converge absolutamente en la norma de operadores, y entonces $latex T_\infty$ está acotado en $latex L^p$. $latex \Box$

Los pasos 3 y 6 implican el teorema.

---

Referencias:

1. Ricci, F y Stein, EM, Harmonic analysis on nilpotent groups and singular integrals I. Oscillatory integrals, J. Functional Analysis 73 (1987), 179-194


2. Thangavelu, S, Lectures on Hermite and Laguerre expansions, Princeton Univ Press, 1993