Tarea 3, Cálculo 3

Fecha de entrega: 2 de septiembre

Problema 1

Demuestra las siguientes propiedades de la derivada de una función vectorial, para funciones $latex \vec r(t)$ y $latex \vec s(t)$ diferenciables.

1. $latex \dfrac{d}{dt}(\vec r + \vec s) = \dfrac{d\vec r}{dt} + \dfrac{d\vec s}{dt}$


2. $latex \dfrac{d}{dt}(\vec r \times \vec s) = \dfrac{d\vec r}{dt}\times\vec s + \vec r\times\dfrac{d\vec s}{dt}$

Problema 2

Considera la curva $latex \vec r(t) = t^2 \vec i - 4t \vec j - t^2\vec k$.

1. Dibuja un bosquejo de la curva, en el intervalo $latex [0,2]$.


2. Encuentra $latex \vec v(t)$ y $latex \vec a(t)$.


3. Encuentra $latex r(t)$ y $latex v(t)$.


4. Encuentra el coseno del ángulo entre $latex \vec r$ y $latex \vec v$, para cada $latex t$. ¿Para cuáles $latex t$ es $latex \vec r$ perpendicular a $latex \vec v$? ¿Para cuáles $latex t$ es $latex \vec r$ paralelo a $latex \vec v$?


5. Encuentra el coseno del ángulo entre $latex \vec v$ y $latex \vec a$, para cada $latex t$. ¿Para cuáles $latex t$ es $latex \vec v$ perpendicular a $latex \vec a$? ¿Para cuáles $latex t$ es $latex \vec v$ paralelo a $latex \vec a$?


6. Encuentra la longitud de arco de $latex t=0$ a $latex t=2$.


7. Encuentra $latex \vec v\times\vec a$.


8. Encuentra el plano osculatorio a la curva en cada $latex t$.


9. Encuentra la curvatura en cada $latex t$.

Problema 3

Repite los cálculos del problema anterior para la curva $latex \vec r(t) = (\cosh t) \vec i + (\senh t) \vec j + t \vec k$.

Problema 4

Muestra que $latex \vec N(t) = \dfrac{\vec a_{v\perp}}{|\vec a_{v\perp}|}$.

Problema 5

Considera una partícula que se mueve con trayectoria igual a la elipse con ecuación, en coordenadas polares, dada por

$latex r(2 + \cos\theta) = 2,$

recorrida en el sentido opuesto a las manecillas del reloj alrededor del origen, y que barre área a razón de 1 por unidad de tiempo, o sea,

$latex \dfrac{dA}{dt} = \dfrac{1}{2} r^2 \dfrac{d\theta}{dt} = 1.$

Encuentra la velocidad $latex \vec v$ y la aceleración $latex \vec a$, en términos de las coordenadas locales $latex \vec u_r$ y $latex \vec u_\theta$.