Tarea 3, Cálculo 1

Fecha de entrega: 2 de septiembre

Problema 1

Calcula los siguientes límites, si existen.

$latex \displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x}{x+1}$

$latex \displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x^4-1}{x-1}$

$latex \displaystyle \lim_{x\to 9} \frac{x-3}{\sqrt x -3}$

$latex \displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x-1}}{x}$

$latex \displaystyle \lim_3 f$, donde $latex \displaystyle f(x) = \begin{cases} x^2 & x<3\\7 & x=3\\2x+3 & x>3.\end{cases}$

Problema 2

Demuestra, utilizando la definición formal de límite (con $latex \epsilon$-$latex \delta$), los siguientes límites.

$latex \displaystyle \lim_{x\to 4} (2x-5) = 3$.

$latex \displaystyle \lim_{x\to 2} |x-2| = 0$.

Problema 3

Sea $latex f$ una función de la cual solo se sabe que, si $latex 0<|x-3|<1$, entonces $latex |f(x) - 5| < 0{.}1$. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son necesariamente ciertos?

Si $latex |x-3|<1$, entonces $latex |f(x) - 5| < 0{.}1$.

$latex \lim_3 f = 5$

Si $latex 0<|x-3|<2$, entonces $latex |f(x) - 5| < 0{.}1$.

Si $latex 0<|x-3|<0{.}5$, entonces $latex |f(x) - 5| < 0{.}1$.

Si $latex 0<|x-3|<\frac{1}{4}$, entonces $latex |f(x) - 5| < \frac{0{.}1}{4}$.

Si $latex 0<|x-3|<1$, entonces $latex |f(x) - 5| < 0{.}2$.

Si $latex \lim_3 f = L$, entonces $latex 4{.}9 \le L \le 5{.}1$.

Problema 4

Suponiendo que

$latex \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = 3, \qquad \lim_{x\to x_0} g(x) = 0, \qquad \lim_{x\to x_0} h(x) = -2,$

calcula los siguientes limites, si existen. Si no existen, explica por qué.

$latex \displaystyle \lim_{x\to x_0} \big( 3f(x) + 2h(x)\big)$.

$latex \displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{h(x)}{x-x_0}$.

$latex \displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{g(x)}{h(x)}$.

$latex \displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{4}{f(x) - h(x)}$.

$latex \displaystyle \lim_{x\to x_0} \big( 3 + g(x) \big)^2$.

Problema 5

Calcula los siguientes límites, si existen.

$latex \displaystyle \lim_{x\to 2} 3$.

$latex \displaystyle \lim_{x\to -4} (x^2 + 3x - 7)$.

$latex \displaystyle \lim_{x\to \sqrt 3} |x^2 - 8|$.

$latex \displaystyle \lim_{x\to 0} \Big( 4 - \frac{4}{x} \Big)$.

$latex \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{x^2+1}{x-1}$.

$latex \displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{x}{x^2-4}$.

$latex \displaystyle \lim_{h\to 0} h\Big(1 + \frac{1}{h}\Big)$.

$latex \displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{x^2-4}{x-2}$.

$latex \displaystyle \lim_{x\to 4} \frac{\sqrt x - 2}{x-4}$.

$latex \displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x^2 - x - 6}{(x+2)^2}$.

$latex \displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{1 - 1/h^2}{1 - 1/h}$.

$latex \displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{1 - 1/h}{1 + 1/h}$.

$latex \displaystyle \lim_{t\to -1} \frac{t^2 + 6t + 5}{t^2 + 3t + 2}$.

$latex \displaystyle \lim_{t\to 0} \frac{t + a/t}{t + b/t}$.

$latex \displaystyle \lim_{x\to -4} \Big( \frac{2x}{x+4} + \frac{8}{x+4}\Big)$.

Problema 6

Indica si las siguientes funciones tienen límite en $latex x_0 = 4$, y calcúlalo en tal caso.

$latex \displaystyle \frac{1}{x} - \frac{1}{4}$

$latex \displaystyle \Big( \frac{1}{x} - \frac{1}{4}\Big)\Big(\frac{1}{x-4}\Big)$

$latex \displaystyle \Big( \frac{1}{x} - \frac{1}{4}\Big)(x-2)$

$latex \displaystyle \Big( \frac{1}{x} - \frac{1}{4}\Big)\Big(\frac{1}{x-4}\Big)^2$

Problema 7

Sea $latex f(x) = x^2 - 4x$. Calcula los siguientes límites, si existen.

$latex \displaystyle \lim_{x\to 4} \frac{f(x) - f(4)}{x - 4}$

$latex \displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}$

$latex \displaystyle \lim_{x\to 3} \frac{f(x) - f(1)}{x - 3}$

$latex \displaystyle \lim_{x\to 3} \frac{f(x) - f(2)}{x - 3}$

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Ricardo A. Sáenz