Tarea 10, Cálculo 1

Fecha de entrega: 28 de octubre

Problema 1

Un triángulo está formado por los ejes de coordenadas y una recta que pasa por el punto $latex (2,5)$, como en la figura. Determina el valor de la pendiente de esta recta que minimiza el área del triángulo.

Problema 2

En un trozo rectangular de cartón de dimensiones $latex 8\times 15$ se han cortado cuatro cuadrados iguales, uno en cada esquina, como se observa en la figura. El pedazo cruciforme restante se dobla de manera que forme una caja sin tapa. ¿Cuáles deberían ser las dimensiones de los cuadrados que se corten para maximizar el volumen de la caja construida por este procedimiento?

Problema 3

Al pasar de un medio a otro, un rayo de luz forma un ángulo de incidencia $latex \theta_i$ y un ángulo de refracción $latex \theta_R$, como se ve en la figura. Si las velocidades de la luz en ambos medios son $latex v_1, v_2$, respectivamente, muestra la ley de Snell,

$latex \dfrac{\sen\theta_i}{\sen\theta_R} = \dfrac{v_1}{v_2},$

partiendo del principio que la luz recorre el camino de $latex A$ a $latex B$ que minimiza el tiempo transcurrido.

Problema 4

Describe la concavidad de la curva dada por la gráfica de la función $latex f$ y, si los hay, los puntos de inflexión.

1. $latex f(x) = x + \dfrac{1}{x}$


2. $latex f(x) = x^3(1-x)$


3. $latex f(x) = \dfrac{6x}{x^2 + 1}$


4. $latex f(x) = x\sqrt{4 - x^2}$


5. $latex f(x) = \sen^4x, \qquad x\in[0,\pi]$

Problema 5

Encuentra las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de cada una de las siguientes funciones.

1. $latex f(x) = \dfrac{x}{3x - 1}$


2. $latex f(x) = \dfrac{2x}{x^2 - 9}$


3. $latex f(x) = \dfrac{3x}{(2x - 5)^2}$


4. $latex f(x) = \sqrt{x + 4} - \sqrt x$


5. $latex f(x) = \dfrac{1}{\sec x - 1}$

Problema 6

Dibuja un bosquejo de la gráfica de cada una de las siguientes funciones. Marca explícitamente los puntos extremos locales, puntos de inflexión y asíntotas, si las hay.

1. $latex f(x) = x^3 + 6x^2$


2. $latex f(x) = x - \dfrac{1}{x}$


3. $latex f(x) = 2 + (x+1)^{6/5}$


4. $latex f(x) = 1 + (x-2)^{4/3}$


5. $latex f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 4}$


6. $latex f(x) = \cos^3 x + 6 \cos x, \quad x\in[0,\pi]$


7. $latex f(x) = (x + 1)^3 - 3(x + 1)^2 + 3(x + 1)$


8. $latex f(x) = x - x^{1/3}$


9. $latex f(x) = \sqrt{\dfrac{x}{x-2}}$


10. $latex f(x) = 3 + 2\cot x + \csc^2 x, \quad x\in(0,\pi/2)$