Tarea 14, Cálculo 3

Fecha de entrega: 25 de noviembre

Problema 1

Calcula el diferencial $latex d\omega$ de las siguientes formas.

1. $latex \omega = x^2y dx + xy^2 dy$ en $latex \R^2$


2. $latex \omega = (x-y)^2 dx + xyz dy - (x-z)^2 dz$ en $latex \R^3$


3. $latex \omega = \sen xy \, dydz + \sen yz \, dzdx + \sen xz \, dxdy$ en $latex \R^3$


4. $latex \omega = 2xy^2z^2 dx + (2x^2yz^2 - 2)dy + (2x^2y^2z +2z)dz$ en $latex \R^3$

Problema 2

Para las 1-formas en $latex \R^3$

$latex \w_1 = f dx + g dy + h dz \qqy \w_2 = r dx + s dy + t dz,$

verifica la identidad

$latex d(\w_1 \w_2) = (d\w_1)\w_2 - \w_1(d\w_2).$

Problema 3

Muestra que la 1-forma

$latex \w = \dfrac{(x+1)dx + y dy}{\sqrt{(x+1)^2 + y^2}}$

es cerrada. ¿Dónde no está definida?

Problema 4

Integra la 1-forma $latex \w$ del problema anterior sobre las curvas de $latex (-2,0)$ a $latex (2,0)$

$latex C_1 = \Big\{ (2\sen t, 2\cos t): -\dfrac{\pi}{2} \le t \le \dfrac{\pi}{2} \Big\}$

y

$latex C_2 = \Big\{(2\sen t, -2\cos t): -\dfrac{\pi}{2} \le t \le \dfrac{\pi}{2} \Big\}$.

¿Es la integral de $latex \w$ independiente de trayectorias?

Problema 5

Indica cuáles de las siguientes formas son cerradas.

1. $latex (2xy + y^2)dx + (2xy + x^2) dy$


2. $latex \dfrac{-y dx + x dy}{\sqrt{x^2 + y^2}}$


3. $latex y^2 dx + (2xy + z^2) dy + 2yz dz$


4. $latex \dfrac{xdx + ydy + zdz}{(x^2 + y^2 + z^2)^2}$

Problema 6

Indica cuáles de las formas del problema anterior son exactas. Si una forma lo es, encuentra una función de la cual la forma es su diferencial; si no lo es, encuentra dos curvas con los mismos puntos extremos para las cuales la integral de la forma es diferente.