Tarea 11, Álgebra 3

Fecha de entrega: 6 de mayo de 2011

Problema 1. Si $latex K$ es un campo contable y $latex L:K$ es finitamente generada, muestra que $latex L$ es contable. Concluye que las extensiones $latex \R:\Q$ y $latex \C:\Q$ no son finitamente generadas.

Problema 2. Calcula el grado de trascendencia de las siguientes extensiones.

1. $latex \Q(t,u,v,w):\Q$, donde $latex t^2 = 2$, $latex u$ es trascendente sobre $latex \Q(t)$, $latex v^3 = t + 5$ y $latex w$ es trascendente sobre $latex \Q(t,u,v)$.


2. $latex \Q(t,u,v,w):\Q$, donde $latex t^2 = u^3 = v^4 = 7$ y $latex w$ es trascendente sobre $latex \Q(t,u,v)$.

Problema 3. Sean $latex K\subset L\subset M$ y $latex M:K$ y $latex L:K$ finitamente generadas. Muestra que $latex M:K$ y $latex L:K$ tienen el mismo grado de trascendencia si y solo si $latex M:L$ es finita.

Problema 4. Sea $latex \chi(K) = 0$, y sea $latex L:K$ normal y finita con grupo de Galois $latex G=\{g_1,\ldots,g_n\}.$ Define la traza de $latex a\in L$ como

$latex T(a) = g_1(a) + \ldots + g_n(a).$

Muestra que $latex T(a)\in K$ y que $latex T:L\to K$ es sobreyectiva.

Problema 5. Sea $latex \chi(K) = p$, y $latex f(x) = x^p - x - \alpha\in K[x].$ Muestra que $latex f$ es irreducible sobre $latex K$ o se descompone sobre $latex K$. (Sugerencia: Si $latex \beta$ es una raíz de $latex f$ en algún campo de descomposición, muestra que las raíces de $latex f$ son de la forma $latex \beta + k,$ con $latex k = 0, 1, \ldots, p-1$.)