Tarea 11, Cálculo 3

Fecha de entrega: 4 de noviembre

Problema 1

Sea $latex R$ el paralelogramo con vértices $latex (1,0), (3,1), (4,4), (2,3)$. Muestra que

$latex x = 1 + 2u + v \qquad y = u + 3v$

mapea el cuadrado unitario con vértices $latex (0,0), (1,0), (1,1), (0,1)$ a $latex R$. Utiliza el pullback para evaluar

$latex \displaystyle \int_R (2x + y) dxdy.$

Problema 2

Sea $latex R$ la región

$latex R=\{ (x,y): 1\le x^2 + y^2 \le 2, y \ge |x| \}.$

Dibuja un bosquejo de $latex R$. Sea $latex u = x/y, v = x^2 + y^2$, de tal forma que $latex R$ se mapea al rectángulo

$latex -1 \le u \le 1 \qquad 1 \le v \le 2.$

Muestra que $\latex dudv = 2(1 + u^2)dxdy$, y por lo tanto

$latex dxdy = \dfrac{1}{2(1 + u^2)} dudv.$

Problema 3

Encuentra el Jacobiano de los siguientes cambios de variables.

1. Coordenadas cilíndricas:
   $latex \begin{array}{rcl}x&=&r \cos\theta\\y&=&r\sen\theta\\z&=&z\end{array}$


2. Coordenadas esféricas
   $latex \begin{array}{rcl}x&=&\rho\cos\theta\cos\phi\\y&=&\rho\sen\theta\cos\phi\\z&=&\rho\sen\phi\end{array}$

Problema 4

Evalúa la integral $latex \displaystyle \int_S x dydz - zdzdx + z^2 dxdy$ para cada una de las siguientes superficies, orientadas de tal forma que el vector normal apunta alejándose del origen.

1. Hemisferio superior:
   $latex x = \cos\theta\cos\phi, \quad y = \sen\theta\cos\phi, \quad z = \sen\phi,$
   $latex 0\le \theta\le 2\pi, \quad 0\le \phi\le \pi/2.$


2. Cono hacia abajo con vértice en $latex (0,0,3)$:
   $latex x = r\cos\theta, \quad y = r\sen\theta, \quad z = 3 - 3r,$
   $latex 0\le r \le 1, \quad 0 \le \theta\le 2\pi.$

Problema 5

Encuentra la razón en la que el flujo

$latex \vec v = \Big( \dfrac{x}{x^2 + y^2}, \dfrac{y}{x^2 + y^2}, \dfrac{z}{x^2 + y^2} \Big)$

cruza la superficie cilíndrica

$latex S = \{ (x,y,z)| x^2 + y^2 = 4, 0 \le z \le 2\},$

orientada de tal forma que la dirección positiva se aleja del eje $latex z$.