Tarea 7, Cálculo 1

Fecha de entrega: 7 de octubre

Problema 1

Calcula la derivada de las siguientes funciones.

1. $latex f(x) = \dfrac{1}{1 - 2x}$


2. $latex f(x) = (1 + 2x)^5$


3. $latex f(x) = (x^5 - x^{10})^{20}$


4. $latex f(x) = \Big(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\Big)^3$


5. $latex f(x) = \Big(x - \dfrac{1}{x}\Big)^4$


6. $latex f(x) = \Big( x + \dfrac{1}{x}\Big)^3$


7. $latex f(x) = (x - x^3 + x^5)^4$


8. $latex f(x) = \Big( \dfrac{1}{x-1}\Big)^4$


9. $latex f(x) = (x^2 - 1)^{100}$


10. $latex f(x) = (x - x^2)^3$


11. $latex f(x) = (x^{-1} + x^{-2})^4$


12. $latex f(x) = \Big(\dfrac{4x+3}{5x+2}\Big)^3$


13. $latex f(x) = \Big( \dfrac{3x}{x^2 + 1}\Big)^4$


14. $latex f(x) = \big( (2x + 1)^2 + (x+1)^3\big)^4$


15. $latex f(x) = \Big( \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^2}{2} + x\Big)^{-1}$


16. $latex f(x) = \sen^4\sqrt x$


17. $latex f(x) = x \cos x^2$


18. $latex f(x) = \tan x^2$


19. $latex f(x) = (x + \cot \pi x)^4$


20. $latex f(x) = (x^2 - \sec 2x )^3$

Problema 2

Encuentra $latex dy/dx$ en $latex x=0$.

1. $latex y = \dfrac{1}{1 + u^2}, u = 2x + 1$


2. $latex y = u + \dfrac{1}{u}, u = (3x + 1)^4$


3. $latex y = \dfrac{2u}{1 - 4u^2}, u = (5x^2 + 1)^4$


4. $latex y = u^3 - u + 1, u = \dfrac{1-x}{1+x}$

Problema 3

Encuentra $latex dy/dt$.

1. $latex y = \dfrac{1 - 7u}{1 + u^2}, u = 1 + x^2, x = 2t -5$


2. $latex y = 1 + u^2, u = \dfrac{1 - 7x}{1 + x^2}, x = 5t -2$

Problema 4

Encuentra $latex dy/dx$ en función de $latex x $ y $latex y$ por medio de derivación implícita.

1. $latex x^3 + y^3 - 3xy = 0$


2. $latex \sqrt x + \sqrt y = 4$


3. $latex x^2 - x^2y + xy^2 + y^2 = 1$


4. $latex (y + 3x)^2 - 4x = 0$


5. $latex \tan xy = xy$

Problema 5

Encuantra $latex dy/dx$ y $latex d^2y/dx^2$ en el punto dado.

1. $latex x^2 - 4y^2 = 9, (5,2)$


2. $latex x^2 + 4xy + y^3 + 5 = 0, (2, -1)$


3. $latex \cos(x + 2y) = 0, (\pi/6, \pi/6)$


4. $latex x = \sen^2 y, (1/2, \pi/4)$

Problema 6

Una partícula se mueve en la órbita circular $latex x^2 + y^2 = 25$. Cuando pasa por el punto $latex (3, 4)$ su ordenada decrece a razón de 2 unidades por segundo. ¿Cómo está variando la abscisa?

Problema 7

Un montón de basura, de forma siempre cúbica, está siendo prensado de tal forma que su volumen decrece a razón de 2 metros cúbicos por minuto. Encuentra la tasa de variación de cada arista cuando el volumen es exactamente 27 m³. En ese instante, ¿cuál es la tasa de variación de la superficie del cubo?

Problema 8

Dos barcos están compitiendo, con velocidad constante, en una carrera hacia un punto de meta. El barco A navega desde el sur a 13 nudos y el barco B se acerca desde el este. En el instante en que están a la misma distancia de la meta, la distancia entre los dos barcos es de 16 millas y decrece a razón de 17 nudos. ¿Cuál de los dos barcos ganará la carrera?