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Tarea 12, Cálculo 3

Fecha de entrega: 11 de noviembre


Problema 1


Utiliza diferenciación implícita para expresar $latex dy/dx$ en términos de $latex x$ y $latex y$. Indica cuándo esta derivada está bien definida.

  1. $latex x^2y + x^3y^4 = 1$

  2. $latex x e^y + y e^x = 2e$

  3. $latex \log(x^2 + xy) = 1$


Problema 2


Encuentra $latex \partial y/\partial x$ en el punto especificado, si existe, considerando $latex z$ constante.

  1. $latex \dfrac{x^2 + y^2}{y^2 + z^2} = 1$ en $latex (-1, 3, 1)$

  2. $latex \log(xyz) = 3$ en $latex (e, e^2, 1)$

  3. $latex \sen x \cos y - \cos x \sen z = 0$ en $latex (\pi/2, 0, \pi/2)$


Problema 3


$latex x, y, u, \text{ y } v$ están relacionadas por las ecuaciones

$latex \begin{array}{rcl}xy & = & 2e^{uv}\\x + y&=& e^{u+v}.\end{array}$


Si $latex v$ se mantiene constante, encuentra $latex \partial x/\partial u$ en el punto $latex (x,y,u,v) = (1,2,0,\log 3)$. Si $latex y$ se mantiene constante, encuentra $latex \partial x/\partial u$ en el mismo punto.

Problema 4


Sean $latex x, y, r, \theta$ relacionadas por

$latex \begin{array}{rcl}x & = & r \cos\theta\\y &=& r\sen\theta.\end{array}$


Muestra que

$latex \begin{array}{rclrcl}\dfrac{\partial r}{\partial x}&=&\cos\theta,&\qquad \dfrac{\partial \theta}{\partial x}&=&-\dfrac{1}{r}\sen\theta,\\\dfrac{\partial r}{\partial y}&=&\sen\theta,&\dfrac{\partial \theta}{\partial y}&=&\dfrac{1}{r}\cos\theta.\end{array}$



Problema 5


Para las variables del problema anterior, utiliza la regla de la cadena para demostrar que, si $latex f(x,y) = g(rm\theta)$, entonces

$latex \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \dfrac{\partial^2 g}{\partial r^2} + \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial g}{\partial r} + \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial^2 g}{\partial \theta^2}.$



Problema 6


Considera la transformación

$latex u = -x + \sqrt{x^2 + y^2}, \qquad v = -x - \sqrt{x^2 + y^2}.$


Muestra que no es invertible en todos lados, y encuentra una región en el plano $latex xy$ en donde sí lo es.

Problema 7


Considera la transformación

$latex u = x^3 - y, \qquad v = 3x^3 + 2y.$


Muestra que esta transformación es invertible en todos lados, y que el Jacobiano es igual a cero en todos los puntos del eje $latex y$.

Problema 8


Considera la transformación

$latex u = e^x \cos y, \qquad v = e^x \sen y.$


Muestra que el Jacobiano de esta transformación es distinto de cero en todos lados. Sin embargo, muestra que la transformación no es inyectiva en $latex \R^2$.

Comentarios

  1. Hola profesor, el Problema 7 de la pagina esta mal escrito verdad? Lo que dice el problema 7 aqui es

    Muestra que esta transformación es invertible en todos lados, y que el Jacobiano es igual a cero en todos lados. (Show that this transformation is invertible everywhere, Show that the jacobian is zero everywhere.)

    Y en el libro dice... (Show that the jacobian is zero everywhere on the Y AXIS and Show that this transformation is invertible over the entire x, y plane) lo ultimo si esta como aqui dice que en todos lados en el plano pero dice que mostremos que el jacobiano es nulo en el eje y, asi dice en el libro... saludos

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  2. Así es, debe decir "el Jacobiano es igual a cero en todos los puntos del eje $latex y$". Ya lo corregí.

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