Tarea 10, Cálculo 3

Fecha de entrega: 28 de octubre

Problema 1

Muestra que la función $latex f(x,y) = \sqrt{|xy|}$ es continua en $latex \vec 0 = (0,0)$ y tiene derivadas parciales en todo $latex \R^2$. Sin embargo, muestra que $latex \dfrac{\partial f}{\partial x}$ y $latex \dfrac{\partial f}{\partial y}$ no son continuas en $latex \vec 0$. ¿Es $latex f$ diferenciable en $latex \vec 0$?

Problema 2

Sea $latex f:\R^n\to\R$ tal que $latex D_{\vec u}f(\vec x_0) = 0$ para todo $latex x_0\in\R^n$ y todo vector unitario $latex \vec u$. Muestra que $latex f$ es constante.

Problema 3

Sean $latex \vec u_1 = (1/\sqrt 2, 1/\sqrt 2)$ y $latex \vec u_2 = ( -1/\sqrt 5, 2/\sqrt 5)$, y supongamos que, en $latex \vec x_0 = (3,5)$, tenemos

$latex D_{\vec u_1}f(\vec x_0) = 3\sqrt 2\qquad\text{ y }\qquad D_{\vec u_2}f(\vec x_0) = -1/\sqrt 5.$

Calcula $latex \dfrac{\partial f}{\partial x}$ y $latex \dfrac{\partial f}{\partial y}$ en $latex \vec x_0$.

Problema 4

Calcula el gradiente $latex \nabla f$ para cada una de las siguientes funciones.

1. $latex f(x,y,z) = \sen xy + \cos yz$


2. $latex f(x,y,z) = x e^{yz}$


3. $latex f(x,y,z) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}, \quad (x,y,z)\not= (0,0,0)$


4. $latex f(x,y,z) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \quad (x,y)\not= (0,0)$

Problema 5

Calcula la matriz jacobiana para cada uno de los siguientes campos vectoriales.

1. $latex f(x,y) = (x^2y, xy, xy^2)$


2. $latex f(x,y,z) = (x\sen y, z\cos y)$


3. $latex f(x,y,z) = (x e^{yz}, ye^{xz}, ze^{xy})$


4. $latex f(x,y,z) = (xr^{-3},yr^{-3}, zr^{-3})$, donde $latex r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ y $latex (x,y,z)\not=(0,0,0)$.

Problema 6

Encuentra $latex \dfrac{\partial f}{du}$ y $latex \dfrac{\partial f}{dv}$ para cada una de las siguientes funciones.

1. $latex f(x,y) = x^2 + xy, x = ve^u, y = ue^v$


2. $latex f(x,y) = x^2 + xy, x = u^2 - v^2, y = uv$


3. $latex f(x,y) = \sqrt{x + y^2}, x = 4uv, y = u - v$


4. $latex f(x,y) = x\log(x^2 + y^2), x = u^2 - v^2, y = u^2+v^2$

Problema 7

Encuentra la dirección que maximiza la derivada direccional de cada una de las siguientes funciones en el punto dado.

1. $latex f(x,y) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \text{ en }(1, -2)$


2. $latex f(x,y) = \log(x^2 + 2y^2), \text{ en }(-1, 1)$


3. $latex f(x,y,z) = x^2y^2 - xz^3 + y^4z^2, \text{ en }(1, -1, 2)$


4. $latex f(x,y,z) = \sen xy - \cos xz, \text{ en }(\pi, 1/2, 1)$