Tarea 8, Cálculo 3

Fecha de entrega: 17 de octubre

Problema 1

Indica cuáles de las siguientes funciones $latex F:\R^2\to\R^2$ en el plano son tranformaciones lineales. En tal caso, calcula su forma matricial. Las letras $latex a, b, c, \varphi$ representan constantes.

1. Corte: $latex F(x,y) = (x + cy, y)$


2. Traslación: $latex F(x,y) = (x + a, y + b)$


3. Expansión: $latex F(x,y) = (ax, by)$


4. Rotación: $latex F(x,y) = (r\cos(\theta + \varphi), r\sen(\theta + \varphi)$, si $latex x = r\cos\theta$ y $latex y = r\sen\theta$.


5. Proyección: $latex F(\vec x) = \vec x_r = \dfrac{\vec x \cdot \vec r}{|\vec r|^2}\vec r$, donde $latex \vec r = (a,b)\not= \vec 0$.


6. Reflexión: $latex F(\vec x) = \vec x - 2\vec x_{r\perp} = 2\vec x_r - \vec x$.

Problema 2

Para las transformaciones $latex L, M$ definidas por

$latex \begin{array}{rclrcl}L(\vec i) & = & \vec i - 2\vec k, & M(\vec i) & = & - \vec j + 3\vec k ,\\ L(\vec j) & = & 3\vec j + \vec k, & M(\vec j) & = & 5\vec i + \vec j - \vec k,\\L(\vec k) & = & 2\vec i - \vec j + \vec k, & \qquad M(\vec k) & = & \vec i + 3\vec j + \vec k,\end{array}$

calcula las formas matriciales de $latex L, M, L\circ M\text{ y } M\circ L$.

Problema 3

Calcula el determinante de cada una de las siguientes matrices.

1. $latex \begin{pmatrix} 1&-1&0\\2&4&1\\-1&0&2\end{pmatrix}$


2. $latex \begin{pmatrix} 1&1&1\\1&2&3\\1&3&6\end{pmatrix}$


3. $latex \begin{pmatrix} 1&0&2&0\\3&0&-1&1\\0&5&0&-2\\1&2&-3&1\end{pmatrix}$

Problema 4

Muestra las siguientes identidades.

1. $latex \det \begin{pmatrix} 1&1&1\\a&b&c\\a^2&b^2&c^2\end{pmatrix} = (b-a)(c-a)(c-b)$


2. $latex \det \begin{pmatrix} 1&1&1\\a^2&b^2&c^2\\a^3&b^3&c^3\end{pmatrix} = (b-a)(c-a)(c-b)(ab + ac + bc)$


3. $latex \det \begin{pmatrix} 1&1&1&1\\a&b&c&d\\a^2&b^2&c^2&d^2\\a^3&b^3&c^3&d^3\end{pmatrix} = (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)$

Problema 5

Muestra que la ecuación del plano en el espacio $latex \R^3$ que contiene los tres puntos $latex (x_0, y_0,z_0), (x_1, y_1, z_1) \text{ y }(x_2, y_2, z_2)$ está dada por

$latex \det \begin{pmatrix}1&1&1&1\\x&x_0&x_1&x_2\\y&y_0&y_1&y_2\\z&z_0&z_1&z_2\end{pmatrix} = 0.$

Explica, utilizando la definición del determinante de $latex 4\times 4$ como hipervolumen con signo, por qué es cierto lo anterior.