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Tarea 5, Cálculo 1

Fecha de entrega: 23 de septiembre


Problema 1


Calcula los límites, en caso que existan.

  1. $latex \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sen 3x}{5x}$

  2. $latex \displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{3x}{\sen 5x}$

  3. $latex \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\tan^2 3x}{4x^2}$

  4. $latex \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sen x}{x^2}$

  5. $latex \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{x^2 - 2x}{\sen 3x}$

  6. $latex \displaystyle \lim_{x\to 0}x \csc x$

  7. $latex \displaystyle \lim_{x\to 0}x^2(1 + \cot^23x)$

  8. $latex \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2x^2 + x}{\sen x}$

  9. $latex \displaystyle \lim_{x\to \pi}\dfrac{\sen x}{x-\pi}$

  10. $latex \displaystyle \lim_{x\to \pi/4}\frac{\sen x}{x}$


Problema 2


Utiliza el teorema del sandwich para mostrar que

$latex \displaystyle \lim_{x\to 0} x \sen \frac{1}{x} = 0.$



Problema 3


Demuestra que, si existe $latex A>0$ tal que $latex |f(x)/x| \le A$ para todo $latex x\not=0$, entonces

$latex \displaystyle \lim_{x\to 0} f(x) = 0.$


(Sugerencia: Utiliza el teorema del sandwich.)

Problema 4


Para cada una de las siguientes funciones, calcula $latex f'(2)$ tomando el límite de $latex \dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h}$ cuando $latex h\to 0.$

  1. $latex f(x) = (3x - 7)^2$

  2. $latex f(x) = 7x - x^3$

  3. $latex f(x) = \sqrt{6 - x}$

  4. $latex f(x) = x + \sqrt x$


Problema 5


Para cada una de las siguientes funciones, calcula $latex f'(x_0)$ tomando el límite de $latex \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ cuando $latex h\to 0.$

  1. $latex f(x) = 4$

  2. $latex f(x) = 2 - 3x$

  3. $latex f(x) = 5x - x^2$

  4. $latex f(x) = \sqrt{x - 1}$

  5. $latex f(x) = \dfrac{1}{x^2}$


Problema 6


Haz un bosquejo de la gráfica de cada una de las siguientes funciones, e indica dónde no son diferenciables.

  1. $latex f(x) = |x + 1|$

  2. $latex f(x) = \sqrt{|x|}$

  3. $latex f(x) = \begin{cases}x^2 & x\le 1\\ 2 -x & x>1\end{cases}$

  4. $latex f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & x\le 2\\ 3 & x > 2\end{cases}$

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