Tarea 5, Cálculo 1

Fecha de entrega: 23 de septiembre

Problema 1

Calcula los límites, en caso que existan.

1. $\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sen 3x}{5x}$


2. $\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{3x}{\sen 5x}$


3. $\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\tan^2 3x}{4x^2}$


4. $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sen x}{x^2}$


5. $\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{x^2 - 2x}{\sen 3x}$


6. $\displaystyle \lim_{x\to 0}x \csc x$


7. $\displaystyle \lim_{x\to 0}x^2(1 + \cot^23x)$


8. $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2x^2 + x}{\sen x}$


9. $\displaystyle \lim_{x\to \pi}\dfrac{\sen x}{x-\pi}$


10. $\displaystyle \lim_{x\to \pi/4}\frac{\sen x}{x}$

Problema 2

Utiliza el teorema del sandwich para mostrar que

$\displaystyle \lim_{x\to 0} x \sen \frac{1}{x} = 0.$

Problema 3

Demuestra que, si existe $A>0$ tal que $|f(x)/x| \le A$ para todo $x\not=0$, entonces

$\displaystyle \lim_{x\to 0} f(x) = 0.$

(Sugerencia: Utiliza el teorema del sandwich.)

Problema 4

Para cada una de las siguientes funciones, calcula $f'(2)$ tomando el límite de $\dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h}$ cuando $h\to 0.$

1. $f(x) = (3x - 7)^2$


2. $f(x) = 7x - x^3$


3. $f(x) = \sqrt{6 - x}$


4. $f(x) = x + \sqrt x$

Problema 5

Para cada una de las siguientes funciones, calcula $f'(x_0)$ tomando el límite de $\dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ cuando $h\to 0.$

1. $f(x) = 4$


2. $f(x) = 2 - 3x$


3. $f(x) = 5x - x^2$


4. $f(x) = \sqrt{x - 1}$


5. $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$

Problema 6

Haz un bosquejo de la gráfica de cada una de las siguientes funciones, e indica dónde no son diferenciables.

1. $f(x) = |x + 1|$


2. $f(x) = \sqrt{|x|}$


3. $f(x) = \begin{cases}x^2 & x\le 1\\ 2 -x & x>1\end{cases}$


4. $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & x\le 2\\ 3 & x > 2\end{cases}$