Tarea 15, Cálculo 3

Fecha de entrega: 2 de diciembre

Problema 1

Utiliza el teorema de Green para evaluar la integral de línea

$latex \displaystyle \oint_C x^3y dx + xy dy,$

donde $latex C$ es el cuadrado con vértices en $latex (0,0), (2,0), (2,2), (0,2).$

Problema 2

Utiliza el teorema de Green para evaluar la integral de línea

$latex \displaystyle \oint_C x\sen y\, dx - x\cos y\, dy,$

donde $latex C$ es el rectángulo $latex (1, \pi/2), (3, \pi/2), (3, \pi), (1, \pi)$.

Problema 3

Encuentra el trabajo realizado por la fuerza

$latex \Big( y^2 + \dfrac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}\Big)dx + \Big( x^3 + \dfrac{y^2}{\sqrt{1+y^2}}\Big) dy$

en una partícula que gira, en dirección opuesta a las manecillas del reloj, sobre el círculo

$latex x^2 + y^2 = 4.$

Problema 4

Utiliza el teorema de Gauss para evaluar

$latex \displaystyle \int_S (x-y)dydz + (y^2+z^2)dzdx + (y-x^2)dxdy,$

donde $latex S$ es la superficie del cubo $latex [0,1]\times[0,1]\times[0,1]$, con la orientación del vector normal hacia afuera.

Problema 5

Utiliza el teorema de Gauss para evaluar

$latex \displaystyle \int_S (x^3\!+\!yz^2\sen x)dydz\!+\!(4y^3\!+\!y^2z^2\cos x)dzdx\!+\!(9z^3\!-\!yz^3\cos x)dxdy,$

donde $latex S$ es la elipsoide

$latex S = \{ (x,y,z)\in\R^3: x^2 + 4y^2 + 9z^2 = 36\},$

con la orientación del vector normal hacia afuera.

Problema 6

Encuentra funciones $latex f, g, h$ tales que

$latex \dfrac{\partial f}{\partial x} = x^2 + y^2 + z^2, \quad \dfrac{\partial g}{\partial y} = x^2 + y^2 + z^2, \quad\dfrac{\partial h}{\partial z} = x^2 + y^2 + z^2.$

Muestra que para cualquier superficie orientada cerrada $latex S$

$latex \displaystyle\int_S f dydz + dzdx + dxdy = \int_S dydz + g dzdx + dxdy$

$latex \displaystyle = \int_S dydz + dzdx + h dxdy = \frac{1}{3}\int_S f dydz + g dzdx + h dxdy.$

Problema 7

Utiliza el teorema de Stokes para calcular cada una de las siguientes integrales de línea. Indica la orientación de $latex C$ que resulta en un valor positivo.

1. $latex \displaystyle\oint_C ydx + (2x - z)dy + (z-x)dz,$
   donde $latex C$ es la intersección de $latex x^2 + y^2 + z^2 = 4$ y $latex z = 1$.


2. $latex \displaystyle\oint_C (y - z)dx + (3x+z)dy + (x + 2y)dz,$
   donde $latex C$ es la intersección de $latex z = 4 - x^2 - y^2$ y $latex x+ y + z = 0$.

Problema 8

Justifica las siguientes identidades, donde hemos usado la notación

$latex \dfrac{\partial f}{\partial n} = \nabla f\cdot \vec n, \qquad dV = dxdydz,$

y el vector $latex \vec n$ es el vector normal hacia afuera de la región dada.

1. $latex \displaystyle \int_{\partial R} \frac{\partial f}{\partial n} d\sigma = \int_R \nabla^2 fdV.$


2. $latex \displaystyle \int_{\partial R} f \frac{\partial g}{\partial n} d\sigma = \int_R f \nabla^2 g dV + \int_R \nabla f\cdot\nabla g dV.$

(Sugerencia: Escribe $latex \dfrac{\partial f}{\partial n} d\sigma$ y $latex f \dfrac{\partial g}{\partial n} d\sigma$ en términos de 2-formas diferenciales.