Tarea 2, Cálculo 3

Fecha de entrega: 26 de agosto

Problema 1

Para cada de los siguientes pares de vectores, calcula su suma, producto punto y producto cruz. Indica cuáles son paralelos y cuáles son ortogonales.

1. $latex (2, -3, 1), (6, 2, -3)$


2. $latex (5, -6, 1), (3, 2, -3)$


3. $latex (3, 0, -2), (-6, 0, 4)$


4. $latex (-2, 5, 1), (3, 0, 6)$


5. $latex (2, -2, -4), (-3, 3, 6)$

Problema 2

Sean $latex \vec r = (-1, 2, -2)$ y $latex \vec s = (3, -5, 4)$.

1. Encuentra $latex |\vec r|, |\vec s|$ y $latex |\vec r + \vec s|$, y verifica la desigualdad del triángulo.


2. Encuentra $latex \vec r_s, \vec r_{s\perp}, \vec s_r$ y $latex \vec s_{r\perp}$.


3. Encuentra el coseno y el seno del ángulo entre $latex \vec r$ y $latex \vec s$.


4. Encuentra la ecuación del plano que pasa por el origen generado por los vectores $latex \vec r$ y $latex \vec s$.


5. Encuentra la ecuación del plano que pasa por $latex (3, -1, 2)$ generado por los vectores $latex \vec r$ y $latex \vec s$.

Problema 3

Considera el plano dado por la ecuación $latex x - 4 y + 7z = 3$.

1. Encuentra un perpendicular al plano.


2. Encuentra dos vectores que generen el plano.


3. Encuentra una representación paramétrica del plano.


4. Encuentra la distancia del vector $latex (1,1,1)$ al plano.


5. Encuentra la ecuación del plano paralalelo a este, pero que pasa por el punto $latex (2,0,3)$.

Problema 4

Muestra que, para $latex \vec r, \vec s \in\R^3$,

$latex |\vec r\times \vec s|^2 + (\vec r\cdot\vec s)^2 = |\vec r|^2 |\vec s |^2$.

Problema 5

El objetivo de este problema es mostrar la fórmula de Herón: si un triángulo tiene lados de longitudes $latex a, b$ y $latex c$, entonces su área $latex A$ está dada por

$latex A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$,

donde $latex s$ es igual al semiperímetro del triángulo, $latex s = (a + b+ c )/2$.

1. Sean $latex \vec a, \vec b, \vec c$ los vectores que representan los lados del triángulo, con $latex |\vec a| = a, |\vec b| = b, |\vec c| = c,$ y $latex \vec c = \vec b - \vec a$. Muestra que $latex 4A^2 = (\vec a\times \vec b)\cdot(\vec a\times \vec b).$


2. Utiliza el problema 4 para mostrar que $latex 4A^2 = (ab + \vec a\cdot\vec b)(ab - \vec a\cdot\vec b).$


3. Muestra que $latex \vec a\cdot \vec b = (a^2 + b^2 - c^2)/2$.


4. Combina las ecuaciones anteriores para mostrar que $latex 16A^2 = (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c).$


5. Concluye la fórmula de Herón.