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Tarea 2, Cálculo 3

Fecha de entrega: 26 de agosto


Problema 1


Para cada de los siguientes pares de vectores, calcula su suma, producto punto y producto cruz. Indica cuáles son paralelos y cuáles son ortogonales.

  1. $latex (2, -3, 1), (6, 2, -3)$

  2. $latex (5, -6, 1), (3, 2, -3)$

  3. $latex (3, 0, -2), (-6, 0, 4)$

  4. $latex (-2, 5, 1), (3, 0, 6)$

  5. $latex (2, -2, -4), (-3, 3, 6)$


Problema 2


Sean $latex \vec r = (-1, 2, -2)$ y $latex \vec s = (3, -5, 4)$.

  1. Encuentra $latex |\vec r|, |\vec s|$ y $latex |\vec r + \vec s|$, y verifica la desigualdad del triángulo.

  2. Encuentra $latex \vec r_s, \vec r_{s\perp}, \vec s_r$ y $latex \vec s_{r\perp}$.

  3. Encuentra el coseno y el seno del ángulo entre $latex \vec r$ y $latex \vec s$.

  4. Encuentra la ecuación del plano que pasa por el origen generado por los vectores $latex \vec r$ y $latex \vec s$.

  5. Encuentra la ecuación del plano que pasa por $latex (3, -1, 2)$ generado por los vectores $latex \vec r$ y $latex \vec s$.


Problema 3


Considera el plano dado por la ecuación $latex x - 4 y + 7z = 3$.

  1. Encuentra un perpendicular al plano.

  2. Encuentra dos vectores que generen el plano.

  3. Encuentra una representación paramétrica del plano.

  4. Encuentra la distancia del vector $latex (1,1,1)$ al plano.

  5. Encuentra la ecuación del plano paralalelo a este, pero que pasa por el punto $latex (2,0,3)$.


Problema 4


Muestra que, para $latex \vec r, \vec s \in\R^3$,

$latex |\vec r\times \vec s|^2 + (\vec r\cdot\vec s)^2 = |\vec r|^2 |\vec s |^2$.



Problema 5


El objetivo de este problema es mostrar la fórmula de Herón: si un triángulo tiene lados de longitudes $latex a, b$ y $latex c$, entonces su área $latex A$ está dada por

$latex A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$,


donde $latex s$ es igual al semiperímetro del triángulo, $latex s = (a + b+ c )/2$.

  1. Sean $latex \vec a, \vec b, \vec c$ los vectores que representan los lados del triángulo, con $latex |\vec a| = a, |\vec b| = b, |\vec c| = c,$ y $latex \vec c = \vec b - \vec a$. Muestra que $latex 4A^2 = (\vec a\times \vec b)\cdot(\vec a\times \vec b).$

  2. Utiliza el problema 4 para mostrar que $latex 4A^2 = (ab + \vec a\cdot\vec b)(ab - \vec a\cdot\vec b).$

  3. Muestra que $latex \vec a\cdot \vec b = (a^2 + b^2 - c^2)/2$.

  4. Combina las ecuaciones anteriores para mostrar que $latex 16A^2 = (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c).$

  5. Concluye la fórmula de Herón.

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