Tarea 6, Cálculo 3

Fecha de entrega: 30 de septiembre

Problema 1

Integra la 1-forma $latex xy^2 dx + y dy$ sobre las siguientes trayectorias de $latex (0,0)$ a $latex (1,1)$.

1. La línea recta de $latex (0,0)$ a $latex (1,1)$


2. La línea recta de $latex (0,0)$ a $latex (1,0)$, seguida de la línea de $latex (1,0)$ a $latex (1,1)$


3. Las líneas de $latex (0,0)$ a $latex (0,1)$ a $latex (1,1)$


4. La curva $latex y = x^2$


5. La curva $latex x = y^2$

Problema 2

Repite el problema anterior con la 1-forma $latex xy^2 dx + x^2 y dy$.

Problema 3

Integra la 1-forma $latex \dfrac{-ydx + xdy}{x^2 + y^2}$ sobre las siguientes trayectorias de $latex (-1,0)$ a $latex (1,0)$.

1. Las líneas de $latex (-1,0)$ a $latex (-1,1)$ a $latex (1,1)$ a $latex (1,0)$


2. Las líneas de $latex (-1,0)$ a $latex (0,1)$ a $latex (1,0)$


3. Las líneas de $latex (-1,0)$ a $latex (0,-1)$ a $latex (1,0)$


4. La curva $latex (-\cos t, \sen t)$, $latex 0\le t \le \pi$


5. La curva $latex (-\cos t, -\sen t)$, $latex 0\le t \le \pi$

Problema 4

Evalúa

$latex \displaystyle \int_\gamma (x^3 - yz) ds,$

donde $latex \gamma$ es la intersección de los planos

$latex x + y - z = 1\qquad\text{y}\qquad z = 3x,$

desde $latex x = 0$ a $latex x = 1$.

Problema 5

Encuentra el centro de masa, en función de $latex a$, del resorte de densidad uniforme descrito por

$latex \{ (\cos t, \sen t, t): 0 \le t \le a \}.$