Tarea 6, Cálculo 3

Fecha de entrega: 30 de septiembre

Problema 1

Integra la 1-forma $xy^2 dx + y dy$ sobre las siguientes trayectorias de $(0,0)$ a $(1,1)$.

1. La línea recta de $(0,0)$ a $(1,1)$


2. La línea recta de $(0,0)$ a $(1,0)$, seguida de la línea de $(1,0)$ a $(1,1)$


3. Las líneas de $(0,0)$ a $(0,1)$ a $(1,1)$


4. La curva $y = x^2$


5. La curva $x = y^2$

Problema 2

Repite el problema anterior con la 1-forma $xy^2 dx + x^2 y dy$.

Problema 3

Integra la 1-forma $\dfrac{-ydx + xdy}{x^2 + y^2}$ sobre las siguientes trayectorias de $(-1,0)$ a $(1,0)$.

1. Las líneas de $(-1,0)$ a $(-1,1)$ a $(1,1)$ a $(1,0)$


2. Las líneas de $(-1,0)$ a $(0,1)$ a $(1,0)$


3. Las líneas de $(-1,0)$ a $(0,-1)$ a $(1,0)$


4. La curva $(-\cos t, \sen t)$, $0\le t \le \pi$


5. La curva $(-\cos t, -\sen t)$, $0\le t \le \pi$

Problema 4

Evalúa

$\displaystyle \int_\gamma (x^3 - yz) ds,$

donde $\gamma$ es la intersección de los planos

$x + y - z = 1\qquad\text{y}\qquad z = 3x,$

desde $x = 0$ a $x = 1$.

Problema 5

Encuentra el centro de masa, en función de $a$, del resorte de densidad uniforme descrito por

$\{ (\cos t, \sen t, t): 0 \le t \le a \}.$