Tarea 5, Cálculo 3

Fecha de entrega: 23 de septiembre

Problema 1

Encuentra mapeos del triángulo fundamental $latex U = [(0,0), (1,0), (0,1)]$ a cada uno de los siguientes triángulos.

1. $latex [(0, 1, -3), (2, 1, 5), (-2, 0, 6)]$


2. $latex [(-2, 0, 6), (2, 1, 5), (0, 1, -3)]$


3. $latex [(2, 7, -1), (-2, 3, 0), (1, 4, 1)]$


4. $latex [(1, -3, 2), (2, 1, 1), (0, -7, 5)]$


5. $latex [(-1, 2, 3), (0, 3, 4), (2, 5, 6)]$

Problema 2

Evalúa por pullbacks la forma diferencial $latex \omega = 2 dydz + 3 dzdx - 2 dxdy$ en cada uno de los triángulos anteriores.

Problema 3

Muestra que, si los triángulos $latex T_1, T_2, T_3, T_4$ son las caras de un tetrahedro orientadas hacia afuera, entonces la razón de flujo de un fluido con velocidad constante a través de todas las caras suma cero. (Sugerencia: Verifícalo primero con las caras del tetrahedro fundamental

$latex U_1 = [(0,0,0), (0,1,0), (1,0,0)]$,

$latex U_2 = [(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)]$,

$latex U_3 = [(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0)]$,

$latex U_4 = [(0,0,0), (1,0,0), (0,0,1)]$,

y luego utiliza pullbacks hacia estos triángulos.)

Problema 4

Muestra que la evaluación por pullback de una 2-forma sobre un triángulo no depende de la parametrización seleccionada.

Problema 5

Encuentra mapeos del tetrahedro fundamental

$latex [(0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)]$

a cada uno de los siguientes tetrahedros.

1. $latex [(-2, 0, 3), (1, 1, -2), (3, 5, 0), (4, -2, 1)]$


2. $latex [(1, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)]$


3. $latex [(5, -1, 2), (3, 1, 0), (1, 0, 2), (7, 0, 0)]$


4. $latex [(-3, 0, 0), (2, -1, 3), (0, 0, 2), (5, 1, -2)]$


5. $latex [(1, 1, 1), (0, 2, 3), (2, -2, 1), (1, -1, -2)]$

Problema 6

Evalúa por pullbacks la 3-forma $latex dxdydz$ sobre cada uno de los tetrahedros del problema anterior.

Problema 7

Utiliza inducción y la identidad

$latex \displaystyle \int_0^1 \frac{t^{k-1}}{(k-1)!} dt = \frac{1}{k!}$

para justuficar el hecho que el hipervolumen del $latex k$-simplejo fundamental es $latex 1/k!$.