Tarea 15, Varias variables

Fecha de entrega: 27 de mayo, 2011

Problema 1. Muestra que el anillo

$latex \mathbb A = \{(x,y)\in\R^2: 1\le x^2 + y^2\le 2 \}$

es un 2-cubo. Calcula $latex \partial\mathbb A$.

Problema 2. Sea $latex R$ un rectángulo en $latex \R^n$, y sea $latex \mathcal P$ un partición de $latex R$. Muestra que

$latex \displaystyle \sum_{S\in\mathcal P} \partial S = \partial R.$

Problema 3. Considera la curva $latex c$ en $latex A$, y $latex \mathcal P = \{s_0 = 0 < s_1 < \ldots < s_p = 1\}$ una partición de $latex [0,1]$. Sea $latex c_i:[0,1]\to A$, $latex i=1,\ldots,p$, la curva

$latex c_i(t) = c(s_{i-1} + (s_i - s_{i-1})t),$

y $latex \tilde c$ el complejo

$latex \tilde c = c_1 + \ldots + c_p.$

Muestra que, para una 1-forma $latex \w$ en $A$,

$latex \displaystyle \int_{\tilde c} \w = \int_c \w.$

Problema 4. De la proposición 9.19 de las notas, muestra las implicaciones $latex (1)\Rightarrow(3)\Rightarrow(2).$

Problema 5. Sea $latex \w = yz dx + xz dy + xy dz$. Calcula $latex \displaystyle\int_c w$ para las siguientes curvas.

1. $latex c(t) = (\cos 2\pi t,\sen 2\pi t, \sen \pi t)$, $latex 0\le t\le 1$;


2. $latex c(t) = (t, t^2, t^3)$, $latex 0\le t\le 1$;


3. $latex c(t) = (t, 2t^2 - t, t)$, $latex 0\le t\le 1$.