Tarea 4, Cálculo 3

Fecha de entrega: 9 de septiembre

Problema 1

Encuentra la velocidad de escape desde la superficie del planeta Marte.

Problema 2

Un cohete ha alcanzado una órbita circular alrededor de la Tierra a una distancia de $latex 6{.}6\times 10^6 \text{ m}$ desde su centro, y viaja a una velocidad de $latex 7785 \text{ m/s}$. Queremos moverlo hacia una órbita circular de radio $latex 7{.}0\times 10^6\text{ m}$. Como primer paso, encendemos el cohete hasta alcanzar una rapidez de $latex v_1$, de tal forma que el cohete tiene ahora una órbita elíptica con apogeo a distancia $latex 7{.}0\times 10^6\text{ m}$. Una vez que se encuentra en el apogeo, volvemos a encender el cohete para incrementar su rapidez en el apogeo, $latex v_2$, hasta la rapidez necesaria para mantener un órbita circular a esa altura, $latex 7560\text{ m/s}$.

Calcula $latex v_1$ y $latex v_2$.

Problema 3

Evalúa la forma diferencial $latex 4dx - 2dy + 3 dz$ en cada uno de los siguientes segmentos.

1. $latex ( -1, 2, 5) \to ( -3, 3, 2)$


2. $latex ( -3, 3, 2) \to ( -1, 2, 5)$


3. $latex ( 2, 0, 1) \to ( -1, 0, 2)$


4. $latex ( -1, 2, 5) \to ( 0, 5, 3)$


5. $latex ( 0, 5, 3) \to ( -3, 3-, 2)$

Problema 4

Evalúa la forma diferencial $latex ydx + zdy + xdz$ en cada uno de los siguientes segmentos.

1. $latex ( 0, 2, -1) \to ( 3, 0, 1)$


2. $latex ( 3, 0, 1) \to ( 0, 2, -1)$


3. $latex ( 3, 1, 2) \to ( -1, 1, 1)$


4. $latex ( 0, 2, -1) \to ( 1, 3, 2)$


5. $latex ( 1, 3, 2) \to ( 3, 0, 1)$

Problema 5

Muestra que el campo gravitacional generado por un cuerpo de masa $latex M$ en el origen está dado por

$latex -GM \Big( \dfrac{x}{r^3}dx + \dfrac{y}{r^3}dy + \dfrac{z}{r^3}dz\Big),$

donde $latex r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Muestra, además, que el trabajo ejercido por este campo al mover un objeto en un segmento desde $latex \vec a$ hasta $latex \vec b$ solo depende de $latex |\vec a|$ y $latex |\vec b|$.

Problema 6

Considera el flujo en el plano con velocidad $latex (x+y, xy)$ en cada punto $latex (x,y)\in\R^2$. Encuentra la razón en la que este flujo cruza cada uno de los siguientes segmentos.

1. $latex ( 2, 2) \to ( 3, 5)$


2. $latex ( 3, 5) \to ( 2, 2)$


3. $latex ( 2, 2) \to ( 3, 2)$


4. $latex ( 3, 2) \to ( 3, 5)$


5. $latex ( -2, 1) \to ( 4, -1)$