Tarea 1, Cálculo 3

Fecha de entrega: 19 de agosto

Problema 1

Considera la elipse $latex \displaystyle \dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$. Calcula los puntos límite del diámetro conjugado $latex QQ'$ para cada uno de los puntos $latex P$ dados.

1. $latex P = (3,0)$;


2. $latex P = (3\sqrt 2/2, \sqrt 2)$;


3. $latex P = (-2\sqrt 2, 2/3)$;


4. $latex P = (\sqrt 3, - 2\sqrt 2/\sqrt 3)$.

Problema 2

Considera la elipse $latex \displaystyle \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$, y el punto $latex P = (a\cos\theta, b\sen\theta)$.

1. Muestra que la pendiente del diámetro conjugado $latex QQ'$ es igual a $latex - (b/a) \cot\theta$.


2. Muestra que la pendiente de la tangente a la elipse en $latex P$ es igual a $latex -(b/a)\cot\theta$, y concluye la propiedad I de las elipses vista en clase.


3. Considera los puntos $latex G = (a\cos(\theta+\varphi), b\sen(\theta+\varphi)$ y $latex G' = (a\cos(\theta - \varphi), b\sen(\theta - \varphi)$. Calcula la pendiente $latex GG'$, y concluye que es paralela a $latex QQ'$.


4. Utiliza el resultado anterior para mostrar la propiedad II de la elipse vista en clase. (Sugerencia: verifica que el punto de intersección de $latex PP'$ y $latex GG'$ es el punto $latex M = \cos\varphi(a\cos\theta, b\sen\theta)$.)


5. Muestra que $latex |PM||P'M| = \sen^2\varphi|OP|^2$ y $latex |GM|^2 = \sen^2\varphi|OQ|^2$. Concluye la propiedad III.

Problema 3

Para la elipse y el punto del problema anterior, muestra que el área del triángulo $latex QOP$, donde $latex O$ denota al origen, es igual a $latex \dfrac{ab}{2}$. Concluye la propiedad IV.

Problema 4

Para la elipse y el punto del problema 2, sea $latex F_1,F_2$ los focos de la elipse. Sea $latex c = |F_1O| = |F_2O|$, es decir, $latex c^2 = a^2 - b^2$.

1. Muestra que $latex |F_1P| = a + c\cos\theta$ y $latex |F_2P| = a - c\cos\theta$, y concluye la propiedad V.


2. Sea $latex \ell$ la bisectriz del ángulo $latex \angle F_1PF_2$, y $latex R$ el punto en $latex F_1P$ tal que $latex F_2R$ es perpendicular a $latex \ell$, como se muestra en la figura de la derecha. Muestra que $latex |PR| = a - c\cos\theta$.


3. Utiliza triángulos semejantes para mostrar las identidades
   $latex \dfrac{s + c}{2c\cos\theta} = \dfrac{c + a\cos\theta}{a+c\cos\theta}$ y $latex \dfrac{t}{2c\cos\theta} = \dfrac{b\sen\theta}{a+c\cos\theta}$.


4. Muestra que la pendiente de $latex |RF_2|$ es igual a $latex \dfrac{t}{s-c} = -\dfrac{b}{a}\cot\theta$, y concluye la propiedad VI de las elipses vista en clase.

Problema 5

Sea $latex \vec r (t)$ la curva $latex \vec r(t) = (t^2 - t, t\sqrt{2t-t^2})$.

1. Dibuja un bosquejo de $latex \vec r(t)$.


2. Encuentra $latex r(t)$.


3. Encuentra las coordenadas locales $latex \vec{u}_r, \vec{u}_\theta$.


4. Encuentra $latex dr/dt$ y $latex d\theta/dt$.


5. Escribe la velocidad y la aceleración en términos de las coordenadas locales $latex \vec{u}_r, \vec{u}_\theta$.