Tarea 14, Álgebra 3

Fecha de entrega: 3 de junio

Problema 1. Sea $latex p$ primo y $latex n\ge 1$. Muestra que

$latex \displaystyle \Phi_{pn}(x) = \begin{cases}\Phi_n(x^p) & p|n\\\dfrac{\Phi_n(x^p)}{\Phi_n(x)}&p\not|n\end{cases}.$

(Sugerencia: Verifica que, si $latex \zeta$ es una raíz $latex pn$-ésima primitiva de 1, entonces es raíz de los polinomios de la derecha en ambos casos; compara los grados calculando $latex \varphi(pn)$ en ambos casos.)

Problema 2. Si $latex n\ge 1$ es impar, muestra que $latex \Phi_{2n}(x) = \Phi_n(-x)$.

Problema 3. Sea $latex p$ primo y $latex p\not|m$, donde $latex m\ge 1$.

1. Muestra que $latex \displaystyle\Phi_p(x^m) = \sum_{i=0}^{p-1}(x^p)^{e_i}x^i$, donde los $latex e_i$ son exponentes apropiados. (Sugerencia: Utiliza el algoritmo de la división para ordenar los términos $latex mi$ de $latex \Phi_p(x^m)$ apropiadamente.)


2. Muestra que $latex \displaystyle\Phi_p(x^m)(x-1) = \sum_{i=0}^{p-1}\big((x^p)^{a_i} - (x^p)^{b_i}\big) x^i$, donde los $latex a_i,b_i$ son exponentes apropiados. (Sugerencia: Usa 1.)


3. Muestra que $latex \dfrac{\Phi_p(x^m)}{\Phi_p(x)}$ es un polinomio con coeficientes en el conjunto $latex \{0,1,-1\}$. (Sugerencia: Usa 2 y el hecho $latex \Phi_p(x)(x-1) = x^p-1$.)


4. Si $latex m$ es primo, muestra que los coeficientes de $latex \Phi_{pm}(x)$ están en el conjunto $latex \{0,1,-1\}$. (Sugerencia: Usa 3 y el problema 1.)

Problema 4. (Migotti, 1883) Si $latex n=2^ap^bq^c$, donde $latex p,q$ son primos, muestra que los coeficientes de $latex \Phi_n(x)$ están en el conjunto $latex \{0,1,-1\}$. (Sugerencia: Usa los problemas anteriores.)

Problema 5. El menor entero que no es de la forma $latex 2^ap^bq^c$ es $latex 3\times 5\times 7 = 105.$ Calcula (puedes usar la computadora) $latex \Phi_{105}(x)$ y averigua si sus coeficientes están en el conjunto $latex \{0,1,-1\}$.