Tarea 4, Cálculo 1

Fecha de entrega: 9 de septiembre

Problema 1

Determina si cada una de las siguientes funciones es continua en el punto indicado. Si la función es discontinua, indica si es continua por la derecha o continua por la izquierda.

1. $latex f(x) = x^3 - 5x +1$; $latex x_0 = 2$


2. $latex f(x) = \sqrt{x^2 + 9}$; $latex x_0 = 3$


3. $latex f(x) = |4 - x^2|$; $latex x_0 = 2$


4. $latex f(x) = \begin{cases} x^2 + 4&x<2\\x^3&x\ge 2\end{cases} $;
   $latex x_0 =2$


5. $latex f(x) = \begin{cases} x^2 + 4&x<2\\5&x=2\\x^3&x> 2\end{cases}$;
   $latex x_0 = 2$


6. $latex f(x) = \begin{cases}1-x&x<1\\1&x=1\\x^2-1&x>1\end{cases}$;
   $latex x_0 = 1$


7. $latex f(x) = \begin{cases}\dfrac{x^2-1}{x+1}&x\not=-1\\-2&x=-1\end{cases}$;
   $latex x_0 = -1$


8. $latex f(x) = \begin{cases}-x^2&x<0\\1-\sqrt x&x\ge0\end{cases}$;
   $latex x_0 = 0$


9. $latex f(x) = \begin{cases}\dfrac{x^2-4}{x-2}&x\not=2\\0&x=2\end{cases} $;
   $latex x_0 = -2$


10. $latex f(x) = \dfrac{x(x+1)(x+2)}{\sqrt{(x-1)(x-2)}}$; $latex x_0 = -2$

Problema 2

Define la función en $latex x=5$ de tal forma que la función sea continua en ese punto.

1. $latex f(x) = \dfrac{\sqrt{x+4}-3}{x-5}$


2. $latex f(x) = \dfrac{\sqrt{x+4}-3}{\sqrt{x-5}}$


3. $latex f(x) = \dfrac{\sqrt{2x-1}-3}{x-5}$


4. $latex f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 - 7x + 16} - \sqrt 6}{(x-5)\sqrt{x+1}}$


5. $latex f(x) = \dfrac{x^2 - 4x - 5}{\sqrt{x-4}-1}$

Problema 3

La función mayor entero $latex \lfloor\cdot\rfloor:\R\to\R$ se define como

$latex \lfloor x \rfloor = \max\{n\in\Z: n\le x\},$

es decir, como el mayor entero que es menor o igual a $latex x$. Dibuja un bosquejo de su gráfica, e indica dónde la función es continua; en los puntos donde es discontinua, indica dónde es continua por la derecha y dónde es continua por la izquierda.

Problema 4

Demuestra, con la ayuda del teorema del valor intermedio, que existe una solución a la ecuación dada en el intervalo dado.

1. $latex 2x^3 - 4x^2 + 5x - 4 = 0; \qquad [1,2]$


2. $latex \sen x + 2\cos x - x^2 = 0; \qquad [0,\pi/2]$


3. $latex 2\tan x = 1 + x; \qquad [0, \pi/4]$


4. $latex x^3 = \sqrt{x+2}; \qquad [1,2]$

Problema 5

Calcula los límites, en caso que existan.

1. $latex \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sen 3x}{5x}$


2. $latex \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\tan^2 3x}{4x^2}$


3. $latex \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{x^2 - 2x}{\sen 3x}$


4. $latex \displaystyle \lim_{x\to 0}x^2(1 + \cot^23x)$


5. $latex \displaystyle \lim_{x\to \pi}\dfrac{\sen x}{x-\pi}$