Tarea 7, Cálculo 3

Fecha de entrega: 7 de octubre

Problema 1

Para cada una de las siguientes integrales, haz un bosquejo de la región de integración y evalúa la integral.

1. $latex \displaystyle \int_R (x^2 + y^2) dxdy, R = \{ (x,y) | 1 \le x\le 2, -1 \le y\le 1 \}$


2. $latex \displaystyle \int_R x \sen y dxdy, R = \{ (x,y) | 0\le x\le 1, x^2\le y\le 2x^2\}$


3. $latex \displaystyle \int_R x\cos y dxdy, R = \{ (x,y)| 0\le y\le \pi/2, 0\le x \le \sen y\}$


4. $latex \displaystyle \int_R e^{xy} dxdy, R = \{ (x,y)| 0\le x\le (\log y)/y, 2\le y\le 3 \}$


5. $latex \displaystyle \int_R (x^3 + 2xy) dxdy, R$ igual al paralelogramo con vértices $latex (1, 3), (3,4), (4, 6)$ y $latex (2, 5)$.

Problema 2

Describe la región $latex R$ sobre la cual se integra la integral iterada

$latex \displaystyle \int_0^1 \int_{x^2}^1 x\sqrt{1-y^2} dydx.$

Reescribe esta integral integrando primero con respecto a $latex x$. Evalúa la integral. ¿Cuál de los dos órdenes de integración es más fácil de evaluar?

Problema 3

Repite el ejercicio anterior para la integral doble

$latex \displaystyle \int_1^2 \int_1^x \frac{x}{\sqrt{ x^2 + y^2}} dy dx.$

Problema 4

Calcula el área, masa y centro de masa de la placa acotada por

$latex x^2 - y^2 = 1 \qquad \text{ y } \qquad x = 4$

y densidad $latex \rho(x,y) = x$.

Problema 5

Encuentra la masa de la región elíptica

$latex x^2 + 4y^2 \le 4$

cuya densidad está dada por $latex \rho(x,y) = x^2 + y^2$.

Problema 6

Considera el triángulo $latex T = [(1, 0, -2), (-1, 2, 0), (1, 1, 2)]$ en $latex \R^3$ y la 2-forma $latex \omega = (y-1)dydz + (y+z)dzdx - x dxdy.$

1. Encuentra la transformación que mapea el triángulo fundamental $latex U=[(0,0), (1,0),(0,1)]$ a $latex T.$


2. Calcula el pullback de la forma $latex \omega$ bajo la transformación anterior.


3. Evalúa la integral $latex \displaystyle \int_T \omega$ con el pullback anterior.

Problema 7

Evalúa las siguientes integrales.

1. $latex \displaystyle \int_R (x + xz - y^2) dxdydz$, $latex R = \{ (x,y,z)| 0\le x\le 1, -2\le y\le 0, 3\le z\le 5 \}$


2. $latex \displaystyle \int_R (x + z) dxdydz$,
   $latex R = \{ (x,y,z)| x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0, x + y + 2z \le 3 \}$


3. $latex \displaystyle \int_R xyz dxdydz$,
   $latex R = \{ (x,y,z)| x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0, x^2 + y^2 + z^2 \le 1 \}$