Tarea 13, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 12 de mayo

Problema 1

Calcula los eigenvalores y eigenvectores de las siguientes transformaciones lineales. Indica en cada caso si los eigenvectores forman una base.

1. $latex T:\C^2\to\C^2$ dada por multiplicación por las siguientes matrices:
   
   
   
   • $latex A = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$
   
   
   • $latex A = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$
   
   
   • $latex A = \begin{pmatrix}1&1\\-1&3\end{pmatrix}$
   
   
   • $latex A = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sen\theta\\ \sen\theta & \cos\theta\end{pmatrix}$
   
   
   
   


2. $latex T:\C^3 \to\C^3$ dada por multiplicación por la matriz
   $latex A = \begin{pmatrix}4&-3&1\\1&0&1\\0&0&3\end{pmatrix}$


3. $latex T:\mathscr M_{2,2}\to\mathscr M_{2,2}$ dada por $latex T(A) = A^H$


4. $latex T:\mathscr P_2 \to \mathscr P_2$ dada por $latex Tp(x) = p''(x) + p'(x) + p(x) + p(0)$

Problema 2

Sea $latex P:V\to V$ una transformación idempotente: o sea, $latex P^2 = P$. ¿Cuáles son los posibles eigenvalores y eigenespacios de P?

Problema 3

Sea $latex T:V\to V$ tal que todo vector de V es un eigenvector de T. Muestra que T es una multiplicación escalar.

Problema 4

Sean $latex T,S:V\to V$ transformaciones lineales. Muestra que $latex TS$ y $latex ST$ tienen los mismos eigenvalores.