Tarea 7, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 17 de marzo

Problema 1

Para cada una de las siguientes matrices, considera la transformación $latex Tx = Ax$. Calcula una base para $latex \ker T$, y utilízala para calcular su dimensión y la dimensión de $latex \rg T$.

1. $latex A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 5 & 4 \end{pmatrix}$


2. $latex A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 & 5\\ 2 & 0 & -2 & 1 & 6\\ 3 & 0 & 2 & 1 & 3\end{pmatrix}$


3. $latex A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4\\ 1 & 2 & -1\\ 0 & -2 & -4\\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$


4. $latex A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 & -3\\ 1 & 1 & 3 & 1 & -1\\ 3 & 2 & 7 & 1 & -2\\2 & 1 & 4 & 1 & -2\end{pmatrix}$

Problema 2

Para cada una de las siguientes matrices, considera la transformación $latex Tx = Ax$. Calcula una base para $latex \rg T$, y utilízala para calcular su dimensión y la dimensión de $latex \ker T$.

1. $latex A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0\\ 0 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$


2. $latex A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & -1\\ 1 & -1 & 5\end{pmatrix}$


3. $latex A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\ -1 & 3 & -1\\-2 & 2 & 6\end{pmatrix}$


4. $latex A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 & -3\\ 1 & 1 & 3 & 1 & -1\\ 3 & 2 & 7 & 1 & -2\\2 & 1 & 4 & 1 & -2\end{pmatrix}$

Problema 3

Sean A y Q matrices de $latex m\times n$, y R una matriz de $latex n\times n$, tales que $latex A=QR$. Si $latex \rho(A)=n$:

1. Muestra que R es no singular.


2. Determina, si es posible, $latex \rho(Q)$

¿Existe una relación general entre $latex \rho(A)$ y $latex \rho(Q)$?

Problema 4

Sean V y W espacios de dimensión finita, y U un subespacio de V. Muestra que existe una transformación lineal $latex T:V\to W$ tal que $latex \ker T = U$ si y solo si $latex \dim U \ge \dim V - \dim W$.

Problema 5

Sea V de dimensión finita y $latex T:V\to V$ lineal. Muestra que T es una multiplicación escalar si y solo si $latex TS = ST$ para toda transformación lineal $latex S:V\to V$.