Tarea 15, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 26 de mayo

Problema 1

Considera las siguientes transformaciones lineales

• $latex T:\C^2\to\C^2$ dada por multiplicación por $latex \begin{pmatrix} 6 & -4 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$


• $latex T:\C^3\to\C^3$ dada por multiplicación por $latex \begin{pmatrix} 4 & -5 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$


• $latex T:\C^4 \to \C^4$ dada por multiplicación por $latex \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\4 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$


• $latex T:\mathscr P_2\to \mathscr P_2$ dada por $latex Tp(x) = p(1)x^2 + p'(x)x + p''(x) + p(0)$

Para cada una de ellas:

1. calcula el determinante;


2. calcula el polinomio característico;


3. verifica que el coeficiente libre de su polinomio característico es $latex \pm 1$ veces su determinante;


4. calcula sus eigenvalores; y


5. encuentra una base tal que la matriz con respecto a ella es triangular.

Problema 2

Sea V un espacio complejo y y $latex T:V\to V$ lineal. Muestra que V tiene una base de eigenvectores de T si y solo si el polinomio mínimo de T no tiene raíces repetidas.

Problema 3

Averigua la veracidad de la identidad

$latex \det(T + S) = \det T + \det S.$

Problema 4

Muestra que, si $latex A, B$ son bloques de la matrix $latex M = \begin{pmatrix} A & * \\ 0 & B \end{pmatrix}$, entonces

$latex \det M = (\det A)(\det B)$.