Tarea 4, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 24 de febrero

Problema 1

Indica si los siguientes subconjuntos son bases de los espacios vectoriales dados:

1. $latex \{(1+x)^2, (2 + x)^2, (3+x)^2 \} \subset \mathscr P_2$


2. $latex \left\{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2\\1\\1\\2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\2\\1\\1\end{pmatrix} \right\}\subset \R^4$


3. $latex \left\{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \right\} \subset \mathcal M_{2\times2}$

Problema 2

Sea V un espacio de dimensión finita y U un subespacio tal que $latex \dim U = \dim V$. Muestra que $latex U=V$.

Problema 3

Calcula una base para cada uno de los siguientes subespacios vectoriales.

1. $latex \left\{ \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} \in \R^3 : x_1 + x_2 - x_3 = 0 \right\}$ en $latex \R^3$


2. $latex \{ p(x)\in\mathscr P_3: p(2)=0\}$ en $latex \mathscr P_3$


3. $latex \{ p(x)\in\mathscr P_3: p(2) = p(-2) =0\}$ en $latex \mathscr P_3$

Problema 4

Calcula las matrices de cambio de base indicadas.

1. De la base estándar de $latex \R^3$ a la base $latex \mathcal B = \left\{ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix} \right\}$


2. De la base $latex \mathcal C = \left\{ \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right\}$ a la base $latex \mathcal B$ del inciso anterior, en $latex \R^3$


3. De la base $latex \mathcal B_1 = \{ 1, 1 + x, (1 + x)^2, (1 + x)^3 \}$ a la base $latex \mathcal B_2 = \{ 1, 1 - x, (1 - x)^2, (1 - x)^3 \}$ en $latex \mathscr P_3$


4. De la base $latex \mathcal B_2$ a la base $latex \mathcal B_1$ del ejercicio anterior en $latex \mathscr P_3$

Problema 5

Calcula un base para el espacio de los cuadrados mágicos, y concluye cuál es su dimensión.

Problema 6

Calcula una base para el subespacio de cuadrados mágicos con suma 0.