Tarea 14, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 19 de mayo

Problema 1

Calcula el polinomio mínimo de las siguientes transformaciones lineales. Utilízalo para calcular los eigenvalores de cada una.

1. $T:\C^2\to\C^2$ dada por multiplicación por la matriz $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$


2. $T:\C^2\to\C^2$ dada por multiplicación por la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$


3. $T:\C^3\to\C^3$ dada por multiplicación por la matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & -4 & 3 \end{pmatrix}$


4. $T:\mathscr P_2\to \mathscr P_2$ dada por $Tp(x) = (x-1)^2 p''(x)+2p(x)$

Problema 2

1. Da un ejemplo de una transformación lineal $T:\C^3\to\C^3$ cuyo polinomio mínimo sea $p_m(x) = x^2$.


2. Da un ejemplo de una transformación lineal $T:\C^4\to\C^4$ cuyo polinomio mínimo sea $p_m(x) = x(x-1)^2$.

Problema 3

Sean $T:V\to V$ lineal y $v\in V$. Sea $p(x)$ el polinomio mónico de grado mínimo tal que $p(T)v=0$. Muestra que $p(x)$ divide al polinomio mínimo de T.

Problema 4

Sea $T:V\to V$ invertible. Muestra que existe un polinomio $p(x)$ tal que $T^{-1} = p(T).$