Tarea 16, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 2 de junio

Problema 1

Verifica que cada una de las siguientes transformaciones es autoadjunta, y encuentra una base ortonormal de eigenvectores.

1. $latex T:\C^3\to\C^3$ dada por multiplicación por la matrix $latex A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & -2\\ -2 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$


2. $latex T:\C^3\to\C^3$ dada por multiplicación por la matrix $latex A = \begin{pmatrix} 2 & i & 0\\ -i & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$


3. $latex T:\mathscr P_2\to\mathscr P_2$ dada por $latex \displaystyle Tp(x) = \frac{1}{4} \int_{-1}^1 (15x^2 y^2 - 6xy - 3) p(y) dy$

Problema 2

Clasifica las siguientes formas cuadráticas de acuerdo a su positividad

1. $latex Q(x) = x_1 x_2$ en $latex \R^2$


2. $latex Q(x) = x_1^2 + 2x_1x_2 + 2x_2^2$ en $latex \R^2$


3. $latex Q(p) = p(0)^2 + 2 p(1)^2 + p(2)^2$ en $latex \mathscr P_2$

Problema 3

Identifica la curva en el plano descrita por cada una de las siguientes ecuaciones.

1. $latex x^2 + xy + y^2 - 6 = 0$


2. $latex 3 x^2 + 8xy + 3y^2 + 28 = 0$


3. $latex -3 x^2 + 6xy + 5y^2 - 24  = 0$

Problema 4

Demuestra o encuentra un contraejemplo para el siguiente enunciado: el producto de dos transformaciones autoadjuntas es una transformación autoadjunta.