Tarea 6, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 10 de marzo

Problema 1

Considera la matriz

$latex A = \begin{pmatrix} 1& 2 & 2 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0 & -1 & -1 & 0\\ 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 1\\2 & 4 & 1 & -2 & 2 & 3\end{pmatrix}$

1. Encuentra una base para $latex \ker A$


2. Encuentra bases para $latex \rg A$, utilizando los dos métodos vistos en clase.

Problema 2

Sea A una matriz de $latex m\times n$ de rango 1. Muestra que existen vectores

$latex \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_m\end{pmatrix} \in\mathbb K^m \qqy \begin{pmatrix} b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}\in\mathbb K^n$

tales que

$latex A = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_m\end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_1 &b_2 &\cdots &b_n\end{pmatrix}$.

Problema 3

Demuestra que, para cada vector $latex v\in\R^{n+1}$, existe un polinomio $latex p(x)\in\mathscr P_n$ tal que

$latex \displaystyle v_k = \int_k^{k+1} p(x) dx.$

Problema 4

Sea A una matriz de $latex m\times n$ tal que su forma reducida tiene exactamente r renglones desiguales a 0. Explica qué relaciones deben satisfacer $latex m, n, r$ para que la transformación lineal $latex x\mapsto Ax$:

1. sea inyectiva


2. sea sobreyectiva


3. Sea inyectiva pero no sobreyectiva


4. sea sobreyectiva pero no inyectiva

Problema 5

Considera el espacio M de cuadrados mágicos

$latex A = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}$.

Para cada una de las siguientes transformaciones lineales $latex T:\mathbf M\to\R^3$, calcula una base para $latex \ker T$, para $latex \rg T$, e indica cuáles son invertibles.

1. $latex T(A) = \begin{pmatrix}a_{11}\\a_{22}\\a_{33}\end{pmatrix}$


2. $latex T(A) = \begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\a_{31}\end{pmatrix}$


3. $latex T(A) = \begin{pmatrix}a_{11}\\a_{23}\\a_{32}\end{pmatrix}$