Tarea 9, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 31 de marzo

Problema 1

Verifica si las siguientes funciones $latex \phi:V\to K$ son funcionales en V.

1. $latex V = \R^2, \phi\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = (x+1)^2 + (y + 2)^2 - (x-2)^2 - (y-1)^2$


2. $latex \displaystyle V = \mathscr P_2, \phi(p) = \int_1^2 x^2 p(x) dx$


3. $latex \displaystyle V = \mathscr P_2, \phi(p) = \int_1^2 x^2 p'(x) dx$


4. $latex \displaystyle V = \mathscr P_2, \phi(p) = \int_1^2 x p(x)^2 dx$


5. $latex V = \mathbf M, \phi(A) = \begin{pmatrix}1 & -1 & 2\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$

Problema 2

Calcula explícitamente la base dual $latex \widehat{\mathscr B}$ de cada una de las siguientes bases para los espacios V dados.

1. $latex V = \R^3, \mathscr B = \Bigg\{ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\Bigg\}$


2. $latex V = \mathscr P_2, \mathscr B = \{x, x^2-1, (x-1)^2\}$


3. $latex V = \mathbf M, \mathscr B = \Bigg\{ \begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\-2 & 0 & 2\\1 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&1&-1\\-1 & 0 & 1\\1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \Bigg\}$

Problema 3

Escribe los siguientes funcionales de $latex \mathscr P_2$ en la base dual encontrada en el Problema 2.2.

1. $latex \displaystyle \phi(p) = \int_0^1 p(x) dx$


2. $latex \displaystyle \phi(p) = \int_0^1 xp(x) dx$


3. $latex \displaystyle \phi(p) = \int_{-1}^1 x^2p'(x) dx$


4. $latex \displaystyle \phi(p) = p(1)$


5. $latex \displaystyle \phi(p) = p(1) - p(-1)$