Tarea 2, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 10 de febrero

Problema 1

Indica cuáles de los siguientes conjuntos forman un espacio vectorial sobre el campo dado, con las operaciones descritas

1. Los números reales $latex \R$ sobre $latex \Q$, con suma y multiplicación usuales


2. El conjunto de las funciones discontinuas en 0 en $latex \R$, sobre $latex \R$, con suma de funciones y multiplicación escalar usuales


3. El conjunto $latex \R_+$ de números positivos, sobre $latex \R$, con suma $latex x\oplus y = xy$ y multiplicación escalar $latex \alpha x = x^\alpha$


4. El conjunto V de parejas $latex (x,y)$ de números reales, sobre $latex \R$, con suma $latex (x,y)\oplus(u,v) = (x + u, y + v)$ y multiplicación escalar $latex \alpha(x,y) = (\alpha x, 2\alpha y)$

Problema 2

Demuestra las siguientes propiedades de un espacio vectorial V sobre el campo $latex \mathbb K$

1. Para todo $latex \alpha\in\mathbb K$, $latex \alpha\cdot 0 = 0$


2. El negativo $latex -v$ de cada $latex v\in V$ es único


3. Para cada $latex u, v\in V$, $latex w = v - u$ es el único vector que satisface $latex u + w = v$.

Problema 3

Indica cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios del espacio vectorial dado

1. $latex V=\{ (x_1, x_2, x_3) : x_1 + x_2 + x_3 = 1\} \subset \R^3$


2. $latex V = \{(x_1, x_2, x_3) : x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 0\} \subset \R^3$


3. El conjunto $latex V\subset C$ de funciones impares


4. $latex V = \{ f\in C: \int_0^1 f = 0\}$


5. El conjunto $latex \mathscr P_n \subset \mathscr P$ de polinomios de grado menor o igual a n.

Problema 4

Un cuadrado mágico es una matriz $latex A = (a_{ij})$ de $latex 3\times 3$ tal que la suma de las entradas de cada renglón, de cada columna y de cada diagonal, son iguales; es decir

$latex \begin{array}{rcl} a_{11} + a_{12} + a_{13} &=& a_{21} + a_{22} + a_{23} = a_{31} + a_{32} + a_{33} = a_{11} + a_{21} + a_{31} \\ &=& a_{12} + a_{22} + a_{32} = a_{13} + a_{23} + a_{33} = a_{11} + a_{22} + a_{33} \\ &=& a_{13} + a_{22} + a_{31} \end{array}$

Sea M el conjunto de cuadrados mágicos.

1. Muestra que M es subespacio del espacio de matrices de $latex 3\times 3$


2. Muestra que el primer renglón determina a un cuadrado mágico


3. ¿Cualquier renglón determina a un cuadrado mágico? ¿Cualquier columna? ¿Cualquier diagonal?


4. ¿Existen cuadrados mágicos simétricos no triviales (no todas sus entradas iguales)?


5. ¿Existen cuadrados mágicos espejo (sus primera y tercera columnas son iguales) no triviales?


6. ¿Existen cuadrados mágicos no triviales, tales que sus primera y tercera columna, y sus primer y tercer renglón, son iguales?


7. ¿Existen cuadrados mágicos no triviales tales que sus diagonales son iguales?