Tarea 10, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 7 de abril

Problema 1

Averigua si las siguientes funciones escalares son productos internos en el espacio vectorial indicado.

1. En $latex \R^2$, $latex \langle x,y \rangle = 7x_1y_1 - 5x_1y_2 - 5x_2y_1 + 4x_2y_2$


2. En $latex \R^2$, $latex \langle x,y \rangle = 7x_1y_1 + 5x_1y_2 + 5x_2y_1 + x_2y_2$


3. En $latex \mathscr P_2$, $latex \langle p,q \rangle = p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(2)q(2)$


4. En $latex \mathscr P_3$, $latex \langle p,q \rangle = p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(2)q(2)$

Problema 2

Usa la ley de cosenos para mostrar que, si $latex x,y\in\R^2$, entonces

$latex x\cdot y = |x| |y| \cos\theta$,

donde $latex \theta$ es el ángulo entre x y y.

Problema 3

Si V es un espacio con producto interno real y $latex u,v\in V$, muestra que

$latex \langle u,v \rangle = \dfrac{1}{4}\big( ||u+v||^2 - ||u-v||^2\big)$.

Problema 4

Si V es un espacio con producto interno complejo y $latex u,v\in V$, muestra que

$latex \langle u,v \rangle = \dfrac{1}{4}\big( ||u+v||^2 - ||u-v||^2 + i||u+iv||^2 - i||u-iv||^2\big)$.

Problema 5

Utiliza el proceso de Gram-Schmidt para encontrar bases ortonormales de $latex \R^3$ a partir de las bases dadas.

1. $latex \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}$


2. $latex \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$

Problema 6

Utiliza el proceso de Gram-Schmidt para encontrar bases ortonormales de $latex \mathscr P_2$ a partir de la base $latex 1, x, x^2$ con respecto a los productos internos dados.

1. $latex \displaystyle \langle p,q \rangle = \int_0^1 p(x)q(x) x(1-x) dx$


2. $latex \displaystyle \langle p,q \rangle = p(0)q(0) + \int_0^1 p'(x)q'(x) dx + p(1)q(1)$