Tarea 3, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 17 de febrero

Problema 1

Averigua si los siguientes vectores se encuentran en el espacio generado dado:

1. $latex x^2+1$ en $latex \gen\{ 1, x-2, (x-2)^2\}\subset\mathscr P$


2. $latex \begin{pmatrix}-1\\-4\\1\end{pmatrix}$ en $latex \gen\Bigg\{\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\Bigg\}\subset\R^3$


3. $latex \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$ en $latex \gen\Bigg\{\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\Bigg\}\subset\R^3$


4. $latex \sen^2x$ en $latex \gen\{1, \cos x, \cos 2x, \cos 3x, \cos 4x,\ldots\}\subset C$

Problema 2

Muestra que, si los vectores $latex v_1, v_2, \ldots, v_k$ generan el espacio V, entonces también lo hacen los vectores

$latex v_1 - v_2, v_2 - v_3, \ldots, v_{k-1} - v_k, v_k$.

Problema 3

Averigua si los siguientes vectores son linealmente independientes:

1. $latex \begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\10\\5\end{pmatrix}$ en $latex \R^3$


2. $latex \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$ en $latex \R^3$


3. $latex \begin{pmatrix}1 + i\\1 - i\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}i\\1\end{pmatrix}$ en $latex \C^2$


4. $latex (x+1)^2, (x-1)^2, (x+2)^2$ en $latex \mathscr P_2$

Problema 4

Sean $latex v_1, v_2, \ldots, v_k\in V$ linealmente independientes y $latex u\in V$. Muestra que, si los vectores $latex v_1 + u, v_2 + u, \ldots, v_k + u$ son dependientes, entonces $latex u\in\gen\{v_1, v_2, \ldots, v_k\}.$