Tarea 12, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 5 de mayo

Problema 1

Considera la matriz

$latex A = \begin{pmatrix}1& 2&2&4\\2 & 4 & -1 & -2 \\ 2 & -1 & -4 & 2\end{pmatrix}$.

1. Encuentra el rango de A.


2. Encuentra la dimensión de $latex \ker A^H$.


3. Explica si los vectores $latex \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ forman una base para $latex (\ker A^H)^\perp$.

Problema 2

Considera la matriz

$latex A = \begin{pmatrix} 1 & -2i & 3 + i\\ 2 & 3 & -1 + i \\ 4 & i & 3-5i\end{pmatrix}$.

1. Encuentra $latex \rho(A)$.


2. Encuentra las dimensiones de $latex \ker A^H, (\ker A^H)^\perp$.


3. Calcula la matriz de Gram $latex A^H A$, y calcula su rango.

Problema 3

Calcula la matriz de Gram G para la base estándar $latex \{1, x, x^2\}$ de $latex \mathscr P_2$ con respecto a cada uno de los siguientes productos internos.

1. $latex \langle p, q \rangle = \int_0^1 pq$


2. $latex \langle p, q \rangle = \int_{-1}^1 pq$


3. $latex \langle p, q \rangle = \sum_{k=-2}^2 p(k/2) q(k/2)$

Para cada caso, verifica que $latex \langle p,q \rangle = v^HGu$, donde u y v son los vectores columna de los polinomios $latex p(x) = 1 - 2x + x^2$ y $latex q(x) = 1 + x + x^2$ esctitos en la base estándar.