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Tarea 11, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 28 de abril


Problema 1


Sea $latex U = \gen\Bigg\{ \begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}3\\1\\2\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\2\\2\\0\end{pmatrix}\Bigg\}$. Para cada uno de los siguientes vectores v, obtén la proyección ortogonal de v sobre U con dos métodos: primero, usando una base ortonormal de U, y, segundo, usando la matrix de Gram asociada.

  1. $latex v = \begin{pmatrix}0\\2\\1\\1\end{pmatrix}$

  2. $latex v = \begin{pmatrix}4\\0\\1\\2\end{pmatrix}$

  3. $latex v = \begin{pmatrix}0\\1\\-1\\-1\end{pmatrix}$


Calcula, además, la matrix de la proyección con respecto a la base estándar.

Problema 2


Sea U el plano $latex x + y + z + w = 0$ en $latex \R^4$. Calcula la proyección ortogonal sobre U de los siguientes vectores.

  1. $latex v = \begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}$

  2. $latex v = \begin{pmatrix}1\\-2\\-1\\2\end{pmatrix}$

  3. $latex v = \begin{pmatrix}1\\1\\0\\-1\end{pmatrix}$


Problema 3


Sea $latex f(x) = 1$, y considera el producto interno $latex \langle g, h\rangle = \int_{-1}^1 gh$. Calcula el polinomio $latex p\in U$, para cada uno de los siguientes espacios, que minimiza la norma $latex ||f - p||$.

  1. $latex U = \{p\in\mathscr P_3: p(0)=0\}$

  2. $latex U = \{p\in\mathscr P_3: p(0) = p(1) = 0\}$

  3. $latex U = \{ p\in\mathscr P_3 : \int_{-1}^1 p = 0\}$


Problema 4


La fuerza laboral en los EEUU (en millones) entre 1930 y 1990 está dada en la siguiente tabla:























































193029.4
193527.1
194032.4
194540.4
195045.2
195550.7
196054.2
196560.8
197070.9
197576.9
198090.6
198594.5
1990103.9

Calcula polinomios de aproximación de grado $latex n = 1, 2, \ldots$, decide cuál es más representativo de los datos, y realiza una predicción de los valores en 1995 y 2000.

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