Tarea 5, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 3 de marzo

Problema 1

Indica si las siguientes transformaciones lineales son inyectivas y/o sobreyectivas. Calcula su espacio nulo.

1. $latex T:\R^4\to\R^4$ dada por $latex T\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&1&2&1\\1&0&1&2\\1&2&3&0\\1&-1&0&3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}$


2. $latex T:\mathbb K^\infty \to \mathbb K^\infty$ dada por $latex T(a_1,a_2,a_3,\ldots) = (a_2, a_3,\ldots)$


3. $latex T:\mathcal M_{2,2}\to \mathcal M_{2,2}$ dada por $latex TA = A + A^t$, donde $latex A^t$ es la transpuesta de $latex A$


4. $latex T:\mathbf M\to\R^3$ dada por $latex T\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{11}\\a_{22}\\a_{33}\end{pmatrix}$, donde M es el espacio de cuadrados mágicos.

Problema 2

Sea $latex T:V\to W$ una transformación lineal.

1. Si T es inyectiva y $latex v_1, v_2, \ldots, v_n$ son linealmente independientes en V, entonces $latex Tv_1, Tv_2, \ldots, Tv_n$ son linealmente independientes en W.


2. Si T es sobreyectiva y $latex V = \gen\{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$, entonces $latex W = \gen\{ Tv_1, Tv_2, \ldots, Tv_n\}$.

Problema 3

Sea $latex \dim V=1$ y $latex T:V\to V$ lineal. Muestra que existe $latex m\in\K$ tal que $latex Tv = mv$ para todo $latex v\in V$. En otras palabras, las únicas transformaciones lineales de un espacio unidimensional en sí mismo son las multiplicaciones escalares.

Problema 4

Da un ejemplo de una función $latex f:\R^2\to\R$ no lineal tal que $latex f(\alpha v) = \alpha f(v)$ para todo $latex \alpha\in\R$ y $latex v\in\R^2$. En otras palabras, invarianza bajo multiplicación escalar no implica linealidad.