Ricardo A. Sáenz

Los exámenes extraordinarios de las materias Análisis real y Análisis de Fourier se llevarán a cabo el miércoles 13 de enero, 3:00pm.

Problema 2. Existe $latex \e>0$ tal que el PVI $latex \displaystyle \begin{cases}x'(t)=\sin x - tx\\x(0)=1\end{cases}$ tiene solución en $latex [-\e,\e]$.

El tercer examen parcial, así como la entrega de la tarea 14 , de Análisis de Fourier será pospuesto para el lunes, 30 de noviembre, a la 1:00pm.

Pueden hacer aquí preguntas y comentarios de las clases Análisis real y Análisis de Fourier , con miras al examen de este viernes.

Tarea 14

Aquí está el capítulo final de las notas de clase: Espacios de Hilbert . El archivo completo con las notas del semestre esta aquí: Análisis real: Primer curso . Estas notas siguen en revisión, pero pueden ser consideradas como "finales" para propósitos de este curso. (El capítulo 8, por ejemplo, que no fue cubierto en clase, no está terminado.)

Tarea 15

Tarea 14

El Problema 1 de la tarea 13 de análisis real, pedía mostrar el siguiente enunciado: Sea $latex A$ un conjunto finito de puntos aislados de $latex X$, es decir, cada es $latex x\in A$ es un conjunto abierto en $latex X$ de un solo punto. Entonces $latex A$ es aislado en $latex C_X$. La demostración de este enunciado es la siguiente.

El teorema de punto fijo y aplicaciones Las figuras de este capítulo fueron producidas por el siguiente archivo de Mathematica : Autosimilares.nb

Tarea 13

Tarea 13

Tarea 12

Tarea 12

Tarea 11

Tarea 11

Los exámenes de Análisis real y Análisis de Fourier son este viernes, 11am y 3pm respectivamente. Esta nota está abierta para discusión sobre estos exámenes (ambas materias). En los comentarios pueden realizar preguntas, observaciones, etc., sobre el material visto en clase, con miras al examen del viernes.

Teoría de Baire

Tarea 10

Tarea 10

Tarea 9

Tarea 9

Compacidad y densidad en C(X,Y)

Tarea 8

Tarea 8

Como comenté en clase, la página History of Appproximation Theory tiene una lista (con PDF incluídos) de los artículos más importantes en esta área. En esta lista se encuentra, desde luego, el artículo original de Weierstrass (Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen, Sitzungsberichte der Akademie zu Berlin 633-639 and 789-805 , 1885), así como las demostraciones originales de Bernstein , de Lebesgue , y de Landau , entre otros. También tienen un link al artículo original de Fejér ( Sur les fonctions bornees et integrables, Comptes Rendus Hebdomadaries, Seances de l'Academie de Sciences, Paris, 131 (1900), 984-987).

Tarea 7

Tarea 7

El espacio de funciones continuas

Tarea 6

Tarea 6

El problema 4 del examen de análisis real pedía mostrar lo siguiente. Sea $latex F_n$ una sucesión decreciente de conjuntos compactos no vacíos en un espacio métrico X. Es decir, $latex F_n\not=\emptyset$ y $latex F_{n+1}\subset F_n$ para todo $latex n$. Entonces $latex \displaystyle \bigcap_n F_n \not=\emptyset.$ Para mostrar esto, tomamos, para cada $latex n$, un $latex x_n\in F_n$ (hemos asumido que cada $latex F_n$ no es vacío). Como $latex F_{n+1}\subset F_n$ para cada $latex n$, esto implica que $latex F_m\subset F_n$ para todo $latex m\ge n$, y en particular la sucesión $latex (x_n)$ es una sucesión en $latex F_1$. Como $latex F_1$ es compacto, entonces tiene una subsucesión que converge, digamos $latex x_{n_k}\to x$. Mostraremos que $latex x\in F_n$ para todo $latex n$, y entonces $latex x\in\bigcap F_n.$

Los exámenes de Análisis real y Análisis de Fourier son este viernes, 11am y 3pm respectivamente. Esta nota está abierta para discusión sobre estos exámenes (ambas materias). En los comentarios pueden realizar preguntas, observaciones, etc., sobre el material visto en clase, con miras al examen del viernes. Lo estaré, y espero que también lo hagan ustedes, revisando frecuentemente para responder a sus comentarios.

Tarea 5 Para los primeros dos problemas, pueden utilizar el hecho que $latex l^2(\Z)$, el espacio de sucesiones "dobles" $latex (a_n)_{n=-\infty}^\infty$ tales que $latex \sum_n |a_n|^2 < \infty$, es un espacio con producto interno $latex \displaystyle \langle (a_n),(b_n) \rangle \le \sum_{n=-\infty}^\infty a_n \overline{b_n}.$ La serie se entiende simétricamente, desde luego.

Tarea 5

Espacios compactos

Tarea 4

El Problema 4 de la Tarea 3 de Análisis de Fourier consistía en mostrar que, si $latex f$ tiene límites por la izquierda $latex f(x^-)$ y por la derecha $latex f(x^+)$ en el punto $latex x$, entonces tanto las sumas de Cesàro como las sumas de Abel convergen a $latex \dfrac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$ en $latex x$. Mostraremos el siguiente teorema, que implica ambos resultados. Teorema. Sea $latex \{K_n\}$ una aproximación a la identidad de núcleos pares, o sea, $latex K_n(-x) = K_n(x)$. Si $latex f$ es Riemann-integrable en el círculo y tiene límites por la izquierda $latex f(x^-)$ y por la derecha $latex f(x^+)$ en $latex x$, entonces $latex \displaystyle \lim_{n\to\infty} f*K_n(x) = \frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}.$

El Problema 3 de la Tarea 3 de Análisis de Fourier consistía en demostrar el siguiente teorema de Weierstrass, sobre la aproximación de funciones continuas en un intervalo con polinomios. Teorema. Si $latex f$ es continua en el intervalo $latex [a,b]\subset\R$, entonces, para cada $latex \e>0$, existe un polinomio $latex p(x)$ tal que $latex |f(x)-p(x)|<\e$ para todo $latex x\in[a,b]$. Mostraremos que este teorema es consecuencia del teorema de Fejér sobre aproximaciones de funciones continuas sobre el círculo por polinomios.

Tarea 4

Tarea 3

Tarea 3

Sucesiones y convergencia

Tarea 2

Tarea 2

Para aquéllos que deseen enviarme sus tareas por correo electrónico, por favor sigan las siguientes líneas. Enviar la tarea, escaneada o tipografiada, en un sólo archivo PDF. En caso de ser escaneada,  debe imprimirse correctamente: no saldrá cortada, borrosa, etc. Las páginas deben estar ordenadas, y orientadas, correctamente. Debe ser enviada conforme al horario de entrega de cada clase: antes de las 11:00am para análisis real , y antes de las 3:00pm para análisis de Fourier .

Tarea 1

Tarea 1

Como se describe en la página del curso , las notas de Análisis real estarán disponibles a través de esta página. El primer capítulo, que espero cubramos en las primeras dos semanas del curso, lo pueden descargar de aquí: Capítulo 1 Les recomiendo resolver todos los ejercicios, aunque sólo una parte de ellos sean asignados de tarea.

Los exámenes extraordinarios de las materias Cálculo 2 y Álgebra 3 se llevarán a cabo el jueves 9 de julio , a las 2:00 pm. Nota: El examen será aplicado en mi oficina, B3 .

Problema 1. Indica si cada una de las siguientes series converge o diverge. 1. $latex \displaystyle\sum\frac{(-1)^n}{\log\log n}$ Converge porque es alternante.

Tarea 16

The Guardian publicó una extensa entrevista a Ian Stewart: The magic numbers . En este perfil describen su extensa carrera como divulgador de matemáticas al público en general. Stewart es también el autor del texto que usamos en Álgebra 3 .

Tarea 14

Tarea 15

Por Francisco Bautista. 10 de junio, 3:00 pm. Los grupos $latex O(n)$ y $latex U(n)$ están definidos como los grupos de isometrías respecto a la norma inducida por el producto interno estándar de $latex \R^n$ y el hermitiano de $latex \C^n$, respectivamente. En esta plática demostraremos que estos grupos son únicos salvo isomorfismo, y discutiremos la compacidad de $latex O(n)$ y $latex U(n)$.  Además, analizaremos la representación de $latex SO(2)$ y $latex U(1)$ para mostrar que son isomorfos a $latex \mathbb S^1$.

Tarea 14

Para leer más sobre residuos cuadráticos, reciprocidad cuadrática y su relación con teoría de campos finitos, pueden consultar el libro A Course in Number Theory and Cryptography (2a ed., capítulo II ), de Neal Koblitz. Para una discusión más extensa sobre reciprocidad cuadrática, aunque sin utilizar las técnicas vistas en clase (más pedestre, digamos), consulten por ejemplo el libro de Melvin B. Nathanson, Elementary Methods in Number Theory ( capítulo 3 ).

Tarea 13

Karla, Diego y Javier fueron entrevistados para el comentario, sobre su aceptación a distintos programas de posgrado en EEUU y Holanda. Felicidades. Nota: Tres alumnos de la U de C fueron admitidos en prestigiosos posgrados .

Por Darío González. 3 de junio, 3:00pm En esta plática me voy a centrar en la utilización de la geometría de curvas y superficies en la arquitectura moderna, intentando mostrar  que la forma no es superflua, y que además de belleza le da estabilidad a la estructura arquitectónica. Centraremos nuestra atención en los siguientes objetos geométricos: catenaria, cónicas, espiral, hélice, la esfera, el toro y algunas superficies regladas (cono, cilindro paraboloide hiperbólico,…). Mostraré algunas de sus propiedades geométricas y construcciones arquitectónicas en las cuales se halla utilizado.

Problema 1. Indica si las siguientes sucesiones convergen, y en tal caso calcula su límite. 1. $latex \dfrac{2+3n-2n^2}{1-n^2}$

Tarea 13

Tarea 12

En la tarea 11 de álgebra 3 , se propusieron las siguientes preguntas: (1) ¿Es $latex \sqrt[3]{28} - 3$ un cuadrado en $latex \Q(\sqrt[3]{28})$? (2) ¿Es $latex \sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{4}$ un cuadrado en $latex \Q(\sqrt[3]{5},\sqrt[3]{2})$? Estas preguntas son equivalentes a preguntar, por ejemplo, si $latex \alpha\in\R$ es tal que $latex \alpha^2 = \sqrt[3]{28}-3$, entonces, ¿los campos $latex \Q(\alpha)$ y $latex \Q(\sqrt[3]{28})$ son iguales? Es fácil ver que $latex \Q(\sqrt[3]{28})\subset\Q(\alpha)$, por lo que la pregunta también es equivalente a preguntar si $latex \alpha\in\Q(\sqrt[3]{28})$; es decir, si existen racionales $latex a,b,c$ tales que $latex (a + b\sqrt[3]{28} + c\sqrt[3]{28^2})^2 = -3 + \sqrt[3]{28}.$

Tarea 12

Tarea 11

Por Mario Ayala. 20 de mayo, 3:00pm Analizaremos la efectividad de los principales tipos de estrategias para el control del mosquito Aedes Aegypti utilizando aproximación por pares y simulación por computadora.

Dado que las fechas para la calificación del tercer parcial y ordinaria fueran modificadas para una semana más tarde, nuestros exámenes también serán pospuestos para una semana más tarde. Por favor, revisen el calendario de exámenes, tanto de Cálculo 2 como Álgebra 3, que ya ha sido modificado.

Tarea 11

Por Guillermo Rodríguez. 13 de mayo, 3:00pm Mostraremos que una variedad cerrada orientablede dimensión $latex n$ puede ser encajada en una hiperesfera como una variedad Riemanniana. El argumento será dado explícitamente para el caso $latex n=3$, aunque la extensión a otras dimensiones es automática.

Tarea 10

He activado un nuevo tema para la página de los cursos, que organiza mejor la información de la página. Contiene la misma información, pero está organizada con los siguientes cambios:  La lista de páginas de materias se encuentra en la parte superior, que se mostrará al hacer click en "Show Menu". Se encuentran por orden cronológico; así que, por ejemplo, la página de la clase Cálculo 2 de este semestre corresponde al link de la última línea, no al de la primera. La información contenida anteriormente al lado, ahora se encuentra en la parte inferior de la página. Se mostrará al hacer click en "Más información". Los links y las figuras, excepto por los de la primera nota, no están activadas en la página principal. Para activarlos, es necesario hacer click en el título de la nota o en "Leer más". Pueden hacer comentarios/preguntas sobre este nuevo tema en esta página.

Problema 1. Escribe cada una de las siguientes curvas, descritas en forma paramétrica, como una ecuación en $latex x$ y $latex y$. Haz un boceto de la curva.

Debido a la suspensión de clases esta semana, los exámenes parciales programados para el jueves 30 de abril serán pospuestos para el siguiente viernes, 8 de mayo.

Tarea 10

Tarea 9

Problema 1. Encuentra el vértice, el foco y la directriz de la parábola $latex y = 2x^2 - 4x + 5.$ Haz un boceto.

El viernes pasado, como solución a uno de los problemas de la Tarea 8 , obtuvimos que el grupo de Galois del polinomio $latex x^5 -3$ es de orden 20, e isomorfo al subgrupo de $latex S_5$ generado por el 5-ciclo $latex \sigma = (1,2,3,4,5)$ y el 4-ciclo $latex \tau = (2,3,5,4)$.

Tarea 9

La demostración al siguiente teorema estaba asignada en la Tarea 8. Teorema. La tangente a una hipérbola en un punto $latex P$ biseca al ángulo $latex F_1PF_2,$ donde $latex F_1$ y $latex F_2$ son los focos de la hipérbola. A continuación presento la demostración.

Por Marcos Vargas. 1 de abril, 3:00pm. Discutiremos la existencia de soluciones a ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, bajo determinadas hipótesis. Expondré una demostración del Teorema de Cauchy-Peano, que trata dicha existencia, usando el lema de Ascoli.

Tarea 8

Tarea 8

Tarea 7

Por Diana Navarro. 25 de marzo, 3:00pm. Uno de los conceptos más importantes en la teoría de las gráficas consiste en saber cuando una gráfica es plana o no. El problema de las tres casas y los tres servicios da una introducción a dicho tema. En esta platica se tratarán algunos conceptos básicos en gráficas, así como la solución al problema de las tres casas y los tres servicios, para así concluir con un resultado importante en el aspecto de gráficas planas.

Tarea 7

Problema 1. Calcula la integral indefinida $latex \displaystyle\int x^5\sqrt{x^4-1} dx.$

Por Juan Bosco Frías. 18 de marzo, 3:00pm. Dadas dos curvas algebraicas en el plano proyectivo, dos preguntas interesantes por contestar son: ¿podemos determinar cuántos son los puntos de intersección de estas curvas?, y ¿cuáles son?. Bajo ciertas condiciones, el Teorema de Bézout contesta a estas preguntas. En esta plática presentaremos la demostración geométrica del Teorema de Bézout, mencionando para ello conceptos como el de plano proyectivo, curva algebraica, resultante y algunas propiedades que satisfacen. Además ilustraremos con un ejemplo.

Tarea 6

Tarea 6

Como el martes veremos un tema nuevo, aquí les va de una vez la primera parte de la tarea 6, sobre técnicas de integración. Así tendrán en qué entretenerse este fin de semana. Tarea 6, 1a No quiero que se me vayan a aburrir, faltaba más.

Tarea 5

Tarea 5

Debido a que las últimas dos semanas no hemos tenido nuestra sesión de solución de problemas para Álgebra 3, aquí tienen las soluciones a problemas selectos de las últimas dos tareas.

Si desean preparar sus pláticas en beamer y han instalado la distribución básica de MikTeX en windows*, es posible que el paquete no haya sido instalado por defecto. Para instalarlo, es necesario hacerlo desde el manejador de paquetes de MikTeX (programa Browse Packages ), o desde la ceja Packages de las opciones (programa Settings ). Es necesario instalar beamer pgf translator xcolor

Por Karla Hernández. 11 de marzo, 3:00 pm. En la actualidad existen muchos métodos para detectar fraudes en información numérica. En todos estos métodos, se requiere conocer el comportamiento de la información de no existir fraude, para así comparar con la información observada y determinar si ha sido manipulada de alguna manera. En esta plática hablaremos de una técnica para detectar fraudes que utiliza el hecho de que la información numérica --en muchos casos-- satisface cierta distribución probabilística. Se estudiarán los principios básicos de las técnicas de detección de fraude, repasaremos algunas herramientas matemáticas necesarias para derivar este método y estudiaremos algunas aplicaciones.

Tarea 4

Tarea 4

Tarea 3

Tarea 3 En el Problema 4, describe tanto los elementos de cada $latex \mathbb Q(X)$ como sus inversos aditivos y multiplicativos.

Por Diego Chowell. 25 de febrero, 3:00pm. Para poder romper un sistema de criptografía, uno necesita dos tipos de información. La primera es la naturaleza general (i.e. la estructura) del sistema. El segundo tipo de información es el conocimiento de una selección específica de ciertos parámetros relacionados con el tipo de sistema de criptografía dado. En esta charla veremos que una manera muy eficiente de hacer esto es por medio de un análisis de frecuencia. Además, estudiaremos cuáles son los principales detalles técnicos que debemos tener en cuenta para tener éxito en la ruptura de cifrados clásicos.

Las conferencias del Seminario de estudiantes se llevarán a cabo en el salón A1 .

Tarea 2

Tarea 2

La sesión de asesorías de hoy, lunes, para el Seminario de estudiantes , será cancelada.

Por Javier Sáenz. 11 de febrero, 3:00pm. Dada la transformada de Fourier $latex \hat{f}$ de $latex f\in L^p(\mathbb R^n)$, una pregunta fundamental a resolver es: ¿cuándo $latex \lim_{R\to \infty} S_{R}f(x) = f(x)$ en $latex L^p (\mathbb R^n)$?, en donde $latex \displaystyle S_R f(x) = \int_{|\xi|<R} \hat{f}(\xi) e^{2\pi i x\cdot \xi} d\xi.$ Este problema es equivalente a verificar si el operador $latex S$ (i.e. $latex R=1$) puede extenderse a un operador acotado en $latex L^p(\mathbb R^n)$. La conjetura del disco afirmaba que sí era posible. Los conjuntos de Besicovitch (conjuntos de medida cero que contienen un segmento unitario en todas las direcciones) han sido utilizados para construir contraejemplos en diversas áreas comenzando por el trabajo en integración de Besicovitch. A través de una construcción utilizando dichos conjuntos, presentamos la solución a la conjetura del disco dada por Fefferman, después de ofrecer una breve introducción a la teoría $latex L^p$ de la transf...

Ya está disponible la página y calendario del seminario de estudiantes : Seminario de estudiantes . Por favor, los estudiantes que ya están calendarizados envíenme por email el título de su plática.

Tarea 1

Tarea 1

La entrada Finite Field en la página everthing2.com es bastante extensa, e incluye muchos detalles como la definición de un campo finito, una discusión sobre la idea de característica, el orden, extensiones de Kronecker, además de la existencia y unicidad de campos finitos de un orden dado. Estas ideas serán cubiertas en nuestro curso de teoría de Galois , por lo que será un recurso útil.