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Post abierto para preguntas

Los exámenes de Análisis real y Análisis de Fourier son este viernes, 11am y 3pm respectivamente. Esta nota está abierta para discusión sobre estos exámenes (ambas materias).

En los comentarios pueden realizar preguntas, observaciones, etc., sobre el material visto en clase, con miras al examen del viernes. Lo estaré, y espero que también lo hagan ustedes, revisando frecuentemente para responder a sus comentarios.

Comentarios

  1. Pueden recoger sus tareas revisadas a partir de mañana, miércoles, a las 2:00pm, en mi oficina.

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  2. En analisis real vimos que los espacios con normas equivalentes tienen los mismos conjuntos abiertos.
    Para las metricas equivalentes tambien implica que tienen la misma topologia?

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  3. En el problema 3.2 de la tarea 5, $latex \int_0^1 $, ¿también se aplica para f y también es cero?

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  4. Las métricas equivalentes son precisamente aquéllas que tienen la misma topología. Es decir, si las métricas $latex (X,d)$ y $latex (X,d')$ son equivalentes, entonces un conjunto $latex U$ es abierto en $latex (X,d)$ si y solo si es abierto en $latex (X,d')$.

    En el caso especial en que las métricas $latex d$ y $latex d'$ son inducidas por normas, digamos $latex ||\cdot||$ y $latex ||\cdot||'$, entonces las métricas son equivalentes si y solo si existen constantes $latex c,C>0$ tales que $latex ||x||\le c||x||'$ y $latex ||x||'\le C||x||$ para todo $latex x\in X$.

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  5. Si d y d' son metricas en un espacio X. d y d' son equivalentes si y solo si (X,d) y (X,d') son homeomorfos.
    Para una bola B1 en (X,d) podemos encontrar una bola B2 en (X,d') talque B2 este contenida en B1, pero es posible allar una bola B3 en (X,d') tal que B1 este contenida en B3? Si primero fijamos a B1?

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  6. Alma: Sí, debe decir $latex \int_0^1 f = 0$.

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  7. Francisco: No. Por ejemplo, si $latex (X,d)$ es acotado, $latex B_1$ podría ser todo el espacio, mientras que, si $latex (X,d')$ no es acotado, entonces ninguna bola contendrá a todo $latex X$.

    $latex (X,d)$ y $latex (X,d')$ pueden ser homeomorfos, aún cuando uno es acotado y otro no (ejemplo: $latex (\R,d)$ y $latex (\R,d_A)$).

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  8. Nota : Los siguientes conceptos, para dos espacios métricos $latex (X,d)$ y $latex (X,d')$, son sinónimos:

    1) Son equivalentes
    2) Son homeomorfos
    3) Tienen los mismos conjuntos abiertos
    4) Tienen la misma topología

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  9. Esté post está resultando muy bueno, entonces mi duda es:

    En la tarea 3 de análisis real el problema 3 dice que si (X,d) y (x,d') son espacios métricos homeomorfos entonces (X,d) y (x,d') tienen las mismas sucesiones convergentes, (La convergencia es una propiedad topológica)

    El problema 4 dice que compeltitud no es una propiedad topológica (existen (X,d) y (x,d') tales que uno es completo y el otro no).

    Pero en el problemas 5 dice que si (X,||.||) y (x,||.||') son homeomorfos, (X,||.||) es completo si y solo si (X,||.||) lo es.

    ¿No es equivalente el problema 5 con completitud que el problema 3 con convergencia? (Veo que en el problema 3 hablamos de métricas y en el problema 5 de normas, no se si tenga algo que ver)

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  10. Sí tiene que ver: Dos normas equivalentes no solo tienen las mismas sucesiones convergentes, sino también las mismas sucesiones de Cauchy.

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  11. ¿La identidad de Parseval puede extenderse para cualquier función T-periódica o sólo es válida para funciones en $latex \mathbb{S} $?

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  12. Es válida para cualquier $latex T$-periódica, teniendo cuidado con las constantes de normalización:

    $latex \displaystyle \frac{1}{T}\int_0^T |f|^2 = \sum_{n=-\infty}^\infty |\hat f(n)|^2,$

    si

    $latex \displaystyle \hat f(n) = \frac{1}{T}\int_0^T f(x) e^{-2\pi inx/T} dx.$

    La identidad se sigue de la ortonormalidad de las funciones $latex e^{2\pi inx/T}$, además del teorema de Fejér, válido para funciones $latex T$-periódicas.

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